Beispiele Kegel & Limiten

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@@ -84,7 +84,7 @@ Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher
     \end{itemize}
     Diese Kategorie sähe als Graph folgendermaßen aus:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(1) at (1,0){$\cdot$};
             \node(2) at (2,0){$\cdot$};
             \node(3) at (3,0){$\cdot$};
@@ -124,7 +124,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
               sodass $\mathcal{F}(f\circ g)=\mathcal{F}(f)\circ\mathcal{F}(g)$
     \end{itemize}
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(A) at (0,0){$A$};
             \node(C) at (0,-3){$C$};
             \node(B) at (1,-1.5){$B$};
@@ -138,7 +138,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
         \hspace{10mm}
         Wird vom Funktor abgebildet auf
         \hspace{10mm}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(A) at (0,0){$\mathcal{F}(A)$};
             \node(C) at (0,-3){$\mathcal{F}(C)$};
             \node(B) at (1,-1.5){$\mathcal{F}(B)$};
@@ -159,7 +159,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
 \begin{example}{Ein Endofunktor\\}
     Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. $\mathcal{F}:\cat{K-Vec}\mapsto\cat{K-Vec}$ mit $W\mapsto V\times W$. Funktoren mit gleicher Definitions und Bildkategorie nennt man Endofunktoren.
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(W) at (0,0){$W$};
             \node(X) at (0,-1.5){$X$};
 
@@ -182,7 +182,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     aus der Bildkategorie abgebildet. (Das Diagramm muss nicht unbedingt kommutieren)\\
     Bleibt noch zu zeigen, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(W1) at (0,0){$W_1$};
             \node(W2) at (2, 0){$W_2$};
             \node(W3) at (4,0){$W_3$};
@@ -195,7 +195,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     \end{center}
     Also:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
             \node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
             \node(vw) at (0,-1){$(v,w)$};
@@ -210,7 +210,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     \end{center}
     und
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
             \node(VW2) at (2,0){$V\times W_2$};
             \node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
@@ -271,7 +271,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     $M\mapsto \text{Abb}_0(M,\mathbb{K})=\{\text{Abb } M\mapsto\mathbb{K} \text{ fast überall } 0\}$ (Freier Vektorraum über M)\\
     $\mathcal{F}(M):=\left\{\displaystyle\sum_{m\in M}\lambda_m\cdot m|\lambda_m=0\text{ ffa } m\in M, \lambda_m\in\mathbb{K}\right\}$\\
     \begin{center}%TDOD: Fix tikz picture
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(M) at (0,0){$M$};
             \node(N) at (0,-2){$N$};
             \node(FM) at (2,0){$\mathcal{F}(M)$};
@@ -293,7 +293,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
 \begin{example}{$\cat{Grp}\mapsto\cat{Ab}$ (Abelisierung)\\}
     $G\mapsto G^{ab}=G_{/H}$ mit $H=\langle\langle\{h_1h_2h_1^{-1}h_2^{-1}|h_1,h_2\in G\}\rangle\rangle$
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node (G1) at (0,0){$G_1$};
             \node (G2) at (0, -2){$G_2$};
             \node (G1ab) at (2,0){$G_1^{ab}$};
@@ -310,7 +310,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
 \begin{example}{Graphen\\}
     Definiere $\cat{Grph}$ exemplarisch als folgende Kategorie:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node (E) at (0,0){E $\cdot$};
             \node (V) at (3,0){$\cdot$ V};
 
@@ -323,7 +323,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     \end{center}
     Dann gibt es Funktoren $\mathcal{F}: \cat{Grph}\mapsto\cat{Set}$ mit
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node (E) at (0,0){$\mathcal{F}(E)$ $\cdot$};
             \node (V) at (6,0){$\cdot$ $\mathcal{F}(V)$};
 
@@ -356,7 +356,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     Objekte: $M\mapsto(M\cup \{\star_m\}, \star_M)$\\
     Morphismen:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
             \node (M) at (0,0){$M$};
             \node (N) at (0,-2){$N$};
 
@@ -364,8 +364,8 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
             (M) edge node[left]{$f$} (N)
             ;
         \end{tikzpicture}
-        $\mapsto$%TODO: THis needs to go higher...
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        $\mapsto$
+        \begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
             \node (M) at (0,0){$M\cup\{\star_M\}$};
             \node (N) at (0,-2){$N\cup\{\star_N\}$};