Beispiele Kegel & Limiten

chapters/Grundlagen.tex

@@ -84,7 +84,7 @@ Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher
     \end{itemize}
     Diese Kategorie sähe als Graph folgendermaßen aus:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(1) at (1,0){$\cdot$};
             \node(2) at (2,0){$\cdot$};
             \node(3) at (3,0){$\cdot$};
@@ -124,7 +124,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
               sodass $\mathcal{F}(f\circ g)=\mathcal{F}(f)\circ\mathcal{F}(g)$
     \end{itemize}
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(A) at (0,0){$A$};
             \node(C) at (0,-3){$C$};
             \node(B) at (1,-1.5){$B$};
@@ -138,7 +138,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
         \hspace{10mm}
         Wird vom Funktor abgebildet auf
         \hspace{10mm}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(A) at (0,0){$\mathcal{F}(A)$};
             \node(C) at (0,-3){$\mathcal{F}(C)$};
             \node(B) at (1,-1.5){$\mathcal{F}(B)$};
@@ -159,7 +159,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
 \begin{example}{Ein Endofunktor\\}
     Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. $\mathcal{F}:\cat{K-Vec}\mapsto\cat{K-Vec}$ mit $W\mapsto V\times W$. Funktoren mit gleicher Definitions und Bildkategorie nennt man Endofunktoren.
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(W) at (0,0){$W$};
             \node(X) at (0,-1.5){$X$};
 
@@ -182,7 +182,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     aus der Bildkategorie abgebildet. (Das Diagramm muss nicht unbedingt kommutieren)\\
     Bleibt noch zu zeigen, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(W1) at (0,0){$W_1$};
             \node(W2) at (2, 0){$W_2$};
             \node(W3) at (4,0){$W_3$};
@@ -195,7 +195,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     \end{center}
     Also:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
             \node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
             \node(vw) at (0,-1){$(v,w)$};
@@ -210,7 +210,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     \end{center}
     und
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
             \node(VW2) at (2,0){$V\times W_2$};
             \node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
@@ -271,7 +271,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     $M\mapsto \text{Abb}_0(M,\mathbb{K})=\{\text{Abb } M\mapsto\mathbb{K} \text{ fast überall } 0\}$ (Freier Vektorraum über M)\\
     $\mathcal{F}(M):=\left\{\displaystyle\sum_{m\in M}\lambda_m\cdot m|\lambda_m=0\text{ ffa } m\in M, \lambda_m\in\mathbb{K}\right\}$\\
     \begin{center}%TDOD: Fix tikz picture
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node(M) at (0,0){$M$};
             \node(N) at (0,-2){$N$};
             \node(FM) at (2,0){$\mathcal{F}(M)$};
@@ -293,7 +293,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
 \begin{example}{$\cat{Grp}\mapsto\cat{Ab}$ (Abelisierung)\\}
     $G\mapsto G^{ab}=G_{/H}$ mit $H=\langle\langle\{h_1h_2h_1^{-1}h_2^{-1}|h_1,h_2\in G\}\rangle\rangle$
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node (G1) at (0,0){$G_1$};
             \node (G2) at (0, -2){$G_2$};
             \node (G1ab) at (2,0){$G_1^{ab}$};
@@ -310,7 +310,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
 \begin{example}{Graphen\\}
     Definiere $\cat{Grph}$ exemplarisch als folgende Kategorie:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node (E) at (0,0){E $\cdot$};
             \node (V) at (3,0){$\cdot$ V};
 
@@ -323,7 +323,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     \end{center}
     Dann gibt es Funktoren $\mathcal{F}: \cat{Grph}\mapsto\cat{Set}$ mit
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node (E) at (0,0){$\mathcal{F}(E)$ $\cdot$};
             \node (V) at (6,0){$\cdot$ $\mathcal{F}(V)$};
 
@@ -356,7 +356,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     Objekte: $M\mapsto(M\cup \{\star_m\}, \star_M)$\\
     Morphismen:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
             \node (M) at (0,0){$M$};
             \node (N) at (0,-2){$N$};
 
@@ -364,8 +364,8 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
             (M) edge node[left]{$f$} (N)
             ;
         \end{tikzpicture}
-        $\mapsto$%TODO: THis needs to go higher...
+        $\mapsto$
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
             \node (M) at (0,0){$M\cup\{\star_M\}$};
             \node (N) at (0,-2){$N\cup\{\star_N\}$};
 

chapters/Kegel_und_Ko.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \section{Kegel und Ko}
-\subsection{Nötige Definitionen}
+\subsection{Kegel und Limiten}
 \begin{definition}{Diagramm\\}
     Ein Diagramm in einer Kategorie $\mathscr{C}$ ist ein Funktor\\
     $\mathcal{F}:I\mapsto\mathscr{C}$ von einer kleinen\footnote{Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Nicht kleine Kategorien werden hier nicht betrachtet.} Kategorie I. Ein Diagramm bettet also quasi eine kleine Kategorie
@@ -11,45 +11,48 @@
     alle Diagramme kommutieren.
 \end{definition}
 \begin{center}
-    \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+    \begin{figure}[h]
-        \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
+        \centering
-        \node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
+        \begin{tikzpicture}
-        \node [blue] (K) at (1.5,2) {$K$};
+            \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
-        \node (ul) at (-1, 3){};
+            \node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
-        \node (lr) at (4, -1){};
+            \node [blue] (K) at (1.5,2) {$K$};
-        \node (C) at (-0.5, 2.5) {$\mathscr{C}$};
+            \node (ul) at (-1, 3){};
-        \draw
+            \node (lr) at (4, -1){};
-        (K) edge[blue] (Fi)
+            \node (C) at (-0.5, 2.5) {$\mathscr{C}$};
-        (K) edge[blue] (Fj)
+            \draw
-        (Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
+            (K) edge[blue] (Fi)
-        (Fi) edge[loop, out=90+45, in=180, looseness=3] (Fi)
+            (K) edge[blue] (Fj)
-        (Fj) edge[loop, out=90-45, in=0, looseness=3] (Fj)
+            (Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
+            (Fi) edge[loop, out=90+45, in=180, looseness=3] (Fi)
+            (Fj) edge[loop, out=90-45, in=0, looseness=3] (Fj)
 
-        (ul) rectangle (lr);
+            (ul) rectangle (lr);
-        ;
+            ;
-    \end{tikzpicture}\\
+        \end{tikzpicture}\\
-    \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
-        \node (i) at (0,0) {$i$};
+            \node (i) at (0,0) {$i$};
-        \node (j) at (3,0){$j$};
+            \node (j) at (3,0){$j$};
-        \node (ul) at (-1,1.5){};
+            \node (ul) at (-1,1.5){};
-        \node (lr) at (4,-1){};
+            \node (lr) at (4,-1){};
-        \node (I) at (-0.5, 1){$I$};
+            \node (I) at (-0.5, 1){$I$};
 
-        \draw
+            \draw
-        (i) edge node[below]{$f$} (j)
+            (i) edge node[below]{$f$} (j)
-        (i) edge[loop, out=90, in=180, looseness=4] (i)
+            (i) edge[loop, out=90, in=180, looseness=4] (i)
-        (j) edge[loop, out=90, in=0, looseness=4] (j)
+            (j) edge[loop, out=90, in=0, looseness=4] (j)
-        (ul) rectangle (lr)
+            (ul) rectangle (lr)
-        ;
+            ;
-    \end{tikzpicture}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Eine Kategorie $\mathscr{C}$ und eine Kleine Kategorie $I$, die vom Diagramm
+            $\mathcal{F}$ in $\mathscr{C}$ abgebildet wird. Außerdem der Kegel $K$ in blau. }
+    \end{figure}
 \end{center}
-$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.\\
+$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.
-Der Kegel ist hier der blau markierte Teil. Das Diagramm ist der Funktor $\mathcal{F}$,
-der $I$ in $\mathscr{C}$ \glqq einbettet''.
 \begin{definition}{Limes\\}
     Ein Limes über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein universeller Kegel L:
     \begin{center}
-        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \begin{tikzpicture}
             \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
             \node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
             \node [red] (L) at (1.5,1.5) {$L$};
@@ -69,3 +72,81 @@ der $I$ in $\mathscr{C}$ \glqq einbettet''.
     Morphismus $K\mapsto L$ existiert, sodass $f_i=g_i\circ (K\mapsto L)$.
     Der Limes ist hier rot dargestellt und der Beispielkegel blau.
 \end{definition}
+Nachdem nun definiert wurde was Diagramme, Kegel und Limiten sind, sollen nun einige Beispiele
+angeführt werden, wie eben solche Kegel und Limiten über bestimmten Kategorien
+aussehen können.
+
+\begin{example}{Leere Kategorie\\}
+    Es sei $I$ die leere Kategorie. Also $\ob I=\varnothing=\mor{I}{\cdot}{\cdot}$.\\
+    \begin{itemize}
+        \item Allgemein: $lim(I) =$ terminales Objekt
+        \item Für $\cat{set}:\text{Kegel}_I =\ob\cat{set}$ und $lim(I)=\{*\}$
+        \item Für $\cat{grp}=\{e\}$
+        \item Für $\cat{K-VR}=\{0\}$
+    \end{itemize}
+    Dieses Beispiel ist relativ uninteressant, da $I$ keine Objekte enthält und somit
+    die Anforderungen um Kegel bzw. Limiten zu finden nicht besonders hoch sind.
+\end{example}
+\newpage
+\begin{example}{Einelementige Kategorie\\}
+    Sei $I=$
+    \begin{tikzpicture}[baseline=2mm]
+        \node (i) at (0,0) {i};
+        \draw
+        (i) edge[loop, looseness=5] (i)
+        ;
+    \end{tikzpicture}
+    die Kategorie mit einem Element und dem Identitätsmorphismus. Betrachten
+    wir nun allgemein eine Kategorie $\mathscr{C}$ und ein Diagramm $\mathcal{F}: \mathscr{C}\mapsto I$.
+    Dann gilt $\text{Kegel}_{\mathscr{C}}(I)=$
+    \begin{tikzpicture}[baseline=4mm]
+        \node (1)[blue] at (0,1) {$\cdot$};
+        \node (2) at (0,0) {$\cdot$};
+        \draw
+        (1) edge[blue] (2)
+        ;
+        \draw[decorate,decoration={brace}] (1.north east) -- (2.south east);
+        \draw[decorate,decoration={brace, mirror}] (1.north west) -- (2.south west);
+    \end{tikzpicture}
+    $=$Alle Objekte in $\mathscr{C}$, die einen Morphismus nach $\mathcal{F}(i)$ haben.\\
+    $\text{lim}(\mathcal{F})=\mathcal{F}(i)$:\\
+    \begin{center}
+        \begin{figure}[h]
+            \centering
+            \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+                \centering
+                \begin{tikzpicture}
+                    \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
+                    \node (L)[red] at (0,2){$\cdot$};
+                    \node (K)[blue] at (1,1){$\cdot$};
+
+                    \draw
+                    (L) edge[red] (Fi)
+                    (K) edge[dotted] (L)
+                    (K) edge[blue] (Fi)
+                    ;
+                \end{tikzpicture}
+                \caption{Ein allgemeines Diagramm für Kegel (blau) und Limes (rot) über dieser Kategorie}
+            \end{minipage}
+            \hspace{10mm}
+            \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+                \centering
+                \begin{tikzpicture}
+                    \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
+                    \node (L)[red] at (0,2){$\mathcal{F}(i)$};
+                    \node (K)[blue] at (2,2){$\cdot$};
+
+                    \draw
+                    (L) edge[red] (Fi)
+                    (K) edge[dotted] (L)
+                    (K) edge[blue] (Fi)
+                    ;
+                \end{tikzpicture}
+                \caption{Das selbe Diagramm erhält man, wenn man $\text{lim }\mathcal{F}=\mathcal{F}(i)$ setzt.}
+            \end{minipage}
+        \end{figure}
+    \end{center}
+\end{example}
+\begin{example}{Kategorie mit zwei Objekten\\}
+    
+\end{example}

main.tex

@@ -12,6 +12,10 @@
 \usepackage{tikz}
 \usetikzlibrary{positioning,decorations.pathreplacing}
 
+\tikzset{
+every edge/.style = {draw, -to}
+}
+
 \biolinum
 
 \theoremstyle{definition}