Beispiele Kegel & Limiten
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@ -84,7 +84,7 @@ Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher
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\end{itemize}
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Diese Kategorie sähe als Graph folgendermaßen aus:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node(1) at (1,0){$\cdot$};
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\node(2) at (2,0){$\cdot$};
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\node(3) at (3,0){$\cdot$};
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@ -124,7 +124,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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sodass $\mathcal{F}(f\circ g)=\mathcal{F}(f)\circ\mathcal{F}(g)$
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\end{itemize}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node(A) at (0,0){$A$};
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\node(C) at (0,-3){$C$};
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\node(B) at (1,-1.5){$B$};
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@ -138,7 +138,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\hspace{10mm}
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Wird vom Funktor abgebildet auf
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\hspace{10mm}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node(A) at (0,0){$\mathcal{F}(A)$};
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\node(C) at (0,-3){$\mathcal{F}(C)$};
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\node(B) at (1,-1.5){$\mathcal{F}(B)$};
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@ -159,7 +159,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\begin{example}{Ein Endofunktor\\}
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Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. $\mathcal{F}:\cat{K-Vec}\mapsto\cat{K-Vec}$ mit $W\mapsto V\times W$. Funktoren mit gleicher Definitions und Bildkategorie nennt man Endofunktoren.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node(W) at (0,0){$W$};
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\node(X) at (0,-1.5){$X$};
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@ -182,7 +182,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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aus der Bildkategorie abgebildet. (Das Diagramm muss nicht unbedingt kommutieren)\\
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Bleibt noch zu zeigen, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node(W1) at (0,0){$W_1$};
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\node(W2) at (2, 0){$W_2$};
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\node(W3) at (4,0){$W_3$};
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@ -195,7 +195,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\end{center}
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Also:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
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\node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
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\node(vw) at (0,-1){$(v,w)$};
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@ -210,7 +210,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\end{center}
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und
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
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||||
\node(VW2) at (2,0){$V\times W_2$};
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\node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
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@ -271,7 +271,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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$M\mapsto \text{Abb}_0(M,\mathbb{K})=\{\text{Abb } M\mapsto\mathbb{K} \text{ fast überall } 0\}$ (Freier Vektorraum über M)\\
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$\mathcal{F}(M):=\left\{\displaystyle\sum_{m\in M}\lambda_m\cdot m|\lambda_m=0\text{ ffa } m\in M, \lambda_m\in\mathbb{K}\right\}$\\
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\begin{center}%TDOD: Fix tikz picture
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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||||
\begin{tikzpicture}
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\node(M) at (0,0){$M$};
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\node(N) at (0,-2){$N$};
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\node(FM) at (2,0){$\mathcal{F}(M)$};
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@ -293,7 +293,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\begin{example}{$\cat{Grp}\mapsto\cat{Ab}$ (Abelisierung)\\}
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$G\mapsto G^{ab}=G_{/H}$ mit $H=\langle\langle\{h_1h_2h_1^{-1}h_2^{-1}|h_1,h_2\in G\}\rangle\rangle$
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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||||
\begin{tikzpicture}
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\node (G1) at (0,0){$G_1$};
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\node (G2) at (0, -2){$G_2$};
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\node (G1ab) at (2,0){$G_1^{ab}$};
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@ -310,7 +310,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\begin{example}{Graphen\\}
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Definiere $\cat{Grph}$ exemplarisch als folgende Kategorie:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}
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\node (E) at (0,0){E $\cdot$};
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\node (V) at (3,0){$\cdot$ V};
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@ -323,7 +323,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\end{center}
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Dann gibt es Funktoren $\mathcal{F}: \cat{Grph}\mapsto\cat{Set}$ mit
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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||||
\begin{tikzpicture}
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\node (E) at (0,0){$\mathcal{F}(E)$ $\cdot$};
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\node (V) at (6,0){$\cdot$ $\mathcal{F}(V)$};
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@ -356,7 +356,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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Objekte: $M\mapsto(M\cup \{\star_m\}, \star_M)$\\
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Morphismen:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
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\node (M) at (0,0){$M$};
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\node (N) at (0,-2){$N$};
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@ -364,8 +364,8 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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(M) edge node[left]{$f$} (N)
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;
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||||
\end{tikzpicture}
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$\mapsto$%TODO: THis needs to go higher...
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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||||
$\mapsto$
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\begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
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||||
\node (M) at (0,0){$M\cup\{\star_M\}$};
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\node (N) at (0,-2){$N\cup\{\star_N\}$};
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@ -1,5 +1,5 @@
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\section{Kegel und Ko}
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\subsection{Nötige Definitionen}
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\subsection{Kegel und Limiten}
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\begin{definition}{Diagramm\\}
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Ein Diagramm in einer Kategorie $\mathscr{C}$ ist ein Funktor\\
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$\mathcal{F}:I\mapsto\mathscr{C}$ von einer kleinen\footnote{Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Nicht kleine Kategorien werden hier nicht betrachtet.} Kategorie I. Ein Diagramm bettet also quasi eine kleine Kategorie
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@ -11,7 +11,9 @@
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alle Diagramme kommutieren.
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\end{definition}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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||||
\begin{figure}[h]
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\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
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\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
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||||
\node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
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\node [blue] (K) at (1.5,2) {$K$};
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@ -28,7 +30,7 @@
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(ul) rectangle (lr);
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;
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||||
\end{tikzpicture}\\
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||||
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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||||
\begin{tikzpicture}
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\node (i) at (0,0) {$i$};
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||||
\node (j) at (3,0){$j$};
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||||
\node (ul) at (-1,1.5){};
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||||
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@ -42,14 +44,15 @@
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|||
(ul) rectangle (lr)
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;
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||||
\end{tikzpicture}
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\caption{Eine Kategorie $\mathscr{C}$ und eine Kleine Kategorie $I$, die vom Diagramm
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$\mathcal{F}$ in $\mathscr{C}$ abgebildet wird. Außerdem der Kegel $K$ in blau. }
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\end{figure}
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\end{center}
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$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.\\
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Der Kegel ist hier der blau markierte Teil. Das Diagramm ist der Funktor $\mathcal{F}$,
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der $I$ in $\mathscr{C}$ \glqq einbettet''.
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$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.
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\begin{definition}{Limes\\}
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Ein Limes über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein universeller Kegel L:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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||||
\begin{tikzpicture}
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\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
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||||
\node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
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\node [red] (L) at (1.5,1.5) {$L$};
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||||
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@ -69,3 +72,81 @@ der $I$ in $\mathscr{C}$ \glqq einbettet''.
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Morphismus $K\mapsto L$ existiert, sodass $f_i=g_i\circ (K\mapsto L)$.
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Der Limes ist hier rot dargestellt und der Beispielkegel blau.
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\end{definition}
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Nachdem nun definiert wurde was Diagramme, Kegel und Limiten sind, sollen nun einige Beispiele
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angeführt werden, wie eben solche Kegel und Limiten über bestimmten Kategorien
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aussehen können.
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\begin{example}{Leere Kategorie\\}
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Es sei $I$ die leere Kategorie. Also $\ob I=\varnothing=\mor{I}{\cdot}{\cdot}$.\\
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\begin{itemize}
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\item Allgemein: $lim(I) =$ terminales Objekt
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\item Für $\cat{set}:\text{Kegel}_I =\ob\cat{set}$ und $lim(I)=\{*\}$
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\item Für $\cat{grp}=\{e\}$
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\item Für $\cat{K-VR}=\{0\}$
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\end{itemize}
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Dieses Beispiel ist relativ uninteressant, da $I$ keine Objekte enthält und somit
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die Anforderungen um Kegel bzw. Limiten zu finden nicht besonders hoch sind.
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\end{example}
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\newpage
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\begin{example}{Einelementige Kategorie\\}
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Sei $I=$
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\begin{tikzpicture}[baseline=2mm]
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\node (i) at (0,0) {i};
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\draw
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(i) edge[loop, looseness=5] (i)
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;
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
die Kategorie mit einem Element und dem Identitätsmorphismus. Betrachten
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wir nun allgemein eine Kategorie $\mathscr{C}$ und ein Diagramm $\mathcal{F}: \mathscr{C}\mapsto I$.
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Dann gilt $\text{Kegel}_{\mathscr{C}}(I)=$
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\begin{tikzpicture}[baseline=4mm]
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\node (1)[blue] at (0,1) {$\cdot$};
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||||
\node (2) at (0,0) {$\cdot$};
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||||
\draw
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(1) edge[blue] (2)
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;
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||||
\draw[decorate,decoration={brace}] (1.north east) -- (2.south east);
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||||
\draw[decorate,decoration={brace, mirror}] (1.north west) -- (2.south west);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
$=$Alle Objekte in $\mathscr{C}$, die einen Morphismus nach $\mathcal{F}(i)$ haben.\\
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$\text{lim}(\mathcal{F})=\mathcal{F}(i)$:\\
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||||
\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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||||
\centering
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||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
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||||
\node (L)[red] at (0,2){$\cdot$};
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||||
\node (K)[blue] at (1,1){$\cdot$};
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||||
|
||||
\draw
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||||
(L) edge[red] (Fi)
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||||
(K) edge[dotted] (L)
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||||
(K) edge[blue] (Fi)
|
||||
;
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{Ein allgemeines Diagramm für Kegel (blau) und Limes (rot) über dieser Kategorie}
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||||
\end{minipage}
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||||
\hspace{10mm}
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||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
|
||||
\node (L)[red] at (0,2){$\mathcal{F}(i)$};
|
||||
\node (K)[blue] at (2,2){$\cdot$};
|
||||
|
||||
\draw
|
||||
(L) edge[red] (Fi)
|
||||
(K) edge[dotted] (L)
|
||||
(K) edge[blue] (Fi)
|
||||
;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Das selbe Diagramm erhält man, wenn man $\text{lim }\mathcal{F}=\mathcal{F}(i)$ setzt.}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{figure}
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||||
\end{center}
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||||
\end{example}
|
||||
\begin{example}{Kategorie mit zwei Objekten\\}
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||||
|
||||
\end{example}
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||||
BIN
main.pdf
BIN
main.pdf
Binary file not shown.
4
main.tex
4
main.tex
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@ -12,6 +12,10 @@
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|||
\usepackage{tikz}
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||||
\usetikzlibrary{positioning,decorations.pathreplacing}
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||||
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||||
\tikzset{
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||||
every edge/.style = {draw, -to}
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||||
}
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||||
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||||
\biolinum
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\theoremstyle{definition}
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