Kegel

chapters/Kegel_und_Ko.tex

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 \subsection{Nötige Definitionen}
 \begin{definition}{Diagramm\\}
     Ein Diagramm in einer Kategorie $\mathscr{C}$ ist ein Funktor\\
-    $\mathcal{F}:I\mapsto\mathscr{C}$ von einer kleinen Kategorie I.
-\end{definition}
+    $\mathcal{F}:I\mapsto\mathscr{C}$ von einer kleinen\footnote{Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Nicht kleine Kategorien werden hier nicht betrachtet.} Kategorie I. Ein Diagramm bettet also quasi eine kleine Kategorie
+    in eine andere ein.
+\end{definition}
+\begin{definition}{Kegel\\}
+    Ein Kegel über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein Objekt $K$ aus
+    $\mathscr{C}$ und Morphismen $K\xrightarrow{f_i}\mathcal{F}(i)$ für alle $i\in\ob I$ sodass
+    alle Diagramme kommutieren.
+\end{definition}
+\begin{center}
+    \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
+        \node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
+        \node [blue] (K) at (1.5,2) {$K$};
+        \node (ul) at (-1, 3){};
+        \node (lr) at (4, -1){};
+        \node (C) at (-0.5, 2.5) {$\mathscr{C}$};
+        \draw
+        (K) edge[blue] (Fi)
+        (K) edge[blue] (Fj)
+        (Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
+        (Fi) edge[loop, out=90+45, in=180, looseness=3] (Fi)
+        (Fj) edge[loop, out=90-45, in=0, looseness=3] (Fj)
+
+        (ul) rectangle (lr);
+        ;
+    \end{tikzpicture}\\
+    \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+        \node (i) at (0,0) {$i$};
+        \node (j) at (3,0){$j$};
+        \node (ul) at (-1,1.5){};
+        \node (lr) at (4,-1){};
+        \node (I) at (-0.5, 1){$I$};
+
+        \draw
+        (i) edge node[below]{$f$} (j)
+        (i) edge[loop, out=90, in=180, looseness=4] (i)
+        (j) edge[loop, out=90, in=0, looseness=4] (j)
+        (ul) rectangle (lr)
+        ;
+    \end{tikzpicture}
+\end{center}
+$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.\\
+Der Kegel ist hier der blau markierte Teil. Das Diagramm ist der Funktor $\mathcal{F}$,
+der $I$ in $\mathscr{C}$ \glqq einbettet''.