Pullback über KVR und Pushout definition

chapters/Kegel_und_Ko.tex

@@ -430,7 +430,7 @@ aussehen können.
                 \node (A) at (0,0){$\cdot$};
                 \node (B) at (2,0){$\cdot$};
                 \node (C) at (2,2){$\cdot$};
-                \node[red] (L) at (0,2){$L$};
+                \node[red] (L) at (0,2){$P$};
                 \node[blue] (T) at (-1,3){$T$};
 
                 \draw
@@ -448,5 +448,96 @@ aussehen können.
     \end{figure}
 \end{definition}
 \begin{example}{Pullback über der Kategorie \cat{K-VR}\\}
-    
-\end{example}
+    Damit $P$ ein Pullback ist, muss folgendes Diagramm kommutieren:\\
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \node (V) at (0,0){$V$};
+            \node (X) at (2,0){$X$};
+            \node (W) at (2,2){$W$};
+            \node[red] (L) at (0,2){$P$};
+
+            \draw
+            (V) edge node[below]{$f_V$} (X)
+            (W) edge node[right]{$f_W$} (X)
+            (L) edge[red] node[left]{$\Pi_V$} (V)
+            (L) edge[red]  node[above]{$\Pi_V$}(W)
+            ;
+
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    Mit $P:=\{(v,w)\in V\times W|f_V(v)=f_W(w)\}$\\
+    Es ist also zu zeigen, dass:
+    \begin{itemize}
+        \item P ein $\mathbb{K}$-Vektorraum ist
+        \item P Limes über dem Diagramm ist
+    \end{itemize}
+    $P$ ist $\mathbb{K}$-Vektorraum:\\
+    $(v,w)+(\tilde{v},\tilde{w})=(v+\tilde{v},w+\tilde{w})$\\
+    $f_V(v+\tilde{v})=f_V(v)+f_V(\tilde{v})=f_W(w)+f_W(\tilde{w})=f_W(w+\tilde{w})$\\
+    $\implies P$ ist $\mathbb{K}$-Vektorraum.\\
+    P ist ein Limes:
+    Da $P$ Morphismen auf alle Objekte im Bild des Diagramms hat, ist $P$ ein Kegel.\\
+    Betrachte folgendes Diagramm:
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \node (V) at (0,0){$V$};
+            \node (X) at (2,0){$X$};
+            \node (W) at (2,2){$W$};
+            \node[red] (P) at (0,2){$P$};
+            \node[blue] (T) at (-1,3){$T$};
+
+            \draw
+            (V) edge node[below]{$f_V$}(X)
+            (W) edge node[right]{$f_W$} (X)
+            (P) edge[red] node[left]{$\Pi_V$}(V)
+            (P) edge[red] node[above]{$\Pi_W$} (W)
+            (T) edge[dotted] node[above]{$\varphi$} (P)
+            (T) edge[blue, bend right] node[left]{$g_V$} (V)
+            (T) edge[blue, bend left] node[above]{$g_W$} (W)
+            ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    Wir müssen also ein $\varphi$ definieren, sodass $\varphi\circ\Pi_V=g_V$ und
+    $\varphi\circ\Pi_W=g_W$ gilt und das Diagramm kommutiert.\\
+    Definiere dazu $\varphi:T\mapsto P$ als $t\mapsto (g_V(t),g_W(t))$\\
+    $\implies P$ ist Limes.\\
+    Da $P$ ein Vektorraum und Limes über dem Pullbackdiagramm ist, ist $P$ Pullback über \cat{K-VR}.
+    \qed
+\end{example}
+\begin{definition}{Pushout\\}
+    Ein Pushout ist der Kolimes des Diagramms
+    \begin{tikzpicture}[baseline=-5mm]
+        \node (X) at (0,0){$\cdot$};
+        \node (V) at (0,-1){$\cdot$};
+        \node (W) at (1,0){$\cdot$};
+
+        \draw
+        (X) edge (V)
+        (X) edge (W)
+        ;
+    \end{tikzpicture}.
+    Also ein Kolimes, sodass folgendes Diagramm kommutiert:\\
+    \begin{figure}[h]
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \node (X) at (0,0){$\cdot$};
+                \node (V) at (0,-2){$\cdot$};
+                \node (W) at (2,0){$\cdot$};
+                \node[red] (P) at (2,-2){$P$};
+                \node[blue] (T) at (3,-3){$T$};
+
+                \draw
+                (X) edge (V)
+                (X) edge (W)
+                (V) edge[red] (P)
+                (W) edge[red] (P)
+                (V) edge[blue, bend right] (T)
+                (W) edge[blue, bend left] (T)
+                (P) edge[dotted] (T)
+                ;
+            
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+        \caption{Das kommutative Diagramm für einen Pushout.}
+    \end{figure}
+\end{definition}