Hom Functor and more examples

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@@ -171,14 +171,15 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
 
             \path
             (W) edge node[left]{$f$} (X)
-            (VW) edge (VX)
+            (VW) edge node[right]{$f\circ \mathcal{F}$} (VX)
             (FVW) edge (FVX)
             (W) edge node[above]{$\mathcal{F}$} (VW)
+            (X) edge node[above]{$\mathcal{F}\circ f$} (VX)
             ;
         \end{tikzpicture}
     \end{center}
     Also werden Objekte aus der Definitions- auf Objekte aus der Bildkategorie und Morphismen aus der Definitions- auf Morphismen
-    aus der Bildkategorie abgebildet.\\
+    aus der Bildkategorie abgebildet. (Das Diagramm muss nicht unbedingt kommutieren)\\
     Bleibt noch zu zeigen, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
     \begin{center}
         \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
@@ -208,7 +209,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
         \end{tikzpicture}
     \end{center}
     und
-        \begin{center}
+    \begin{center}
         \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
             \node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
             \node(VW2) at (2,0){$V\times W_2$};
@@ -227,6 +228,37 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
             ;
         \end{tikzpicture}
     \end{center}
-    Man sieht also, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt. 
+    Man sieht also, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
     Damit ist $\mathcal{F}$ ein Funktor.
+\end{example}
+\begin{example}{Der Hom-Funktor (Kovariant)\\}
+    Es sei $\mathscr{C}$ eine Kategorie, $X\in\ob\mathscr{C}$\\
+    Definiere den Funktor $\mor{\mathscr{C}}{X}{\_}: \mathscr{C}\mapsto\cat{Set}$
+    \begin{itemize}
+        \item $Y\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$\\
+              Ein $Y\in\mathscr{C}$ wird also auf die Morphismenmenge $\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$, die Morphismen, die in $\mathscr{C}$ von X auf Y existieren, abgebildet.
+        \item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
+                  \left[
+                      \begin{aligned}
+                          \mor{\mathscr{C}}{X}{Y}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{Z} \\
+                          [g:X\mapsto Y]\mapsto[f\circ g:X\mapsto Z]
+                      \end{aligned}
+                      \right]
+              $\\
+              Der Funktor bildet also jeden Morphismus $f$ von $Y$ nach $Z$ auf die oben definierte Funktion ab.
+    \end{itemize}
+\end{example}
+\begin{example}{$\cat{R1ng}\mapsto\cat{Grp}$\\}
+    $R\mapsto R^\times=\{r\in R|\exists s\in R:rs=1_R\}$\\
+    $
+        [R\xrightarrow{}S]\mapsto
+        \left[
+            \begin{aligned}
+                R^\times\xrightarrow{f^\times}S^\times \\
+                f^\times  = f
+            \end{aligned}
+            \right]
+    $\\
+    Man schränkt den Ring also auf alle invertierbaren Ringelemente ein und 
+    lässt nur noch die Abbildungen übrig, die ohnehin schon zwischen invertierbaren Elementen abgebildet haben.
 \end{example}