basics

chapters/Grundlagen.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\section{Grundlagen}
+Oft betrachtet man in der Kategorientheorie Kategorien und sogenannte Funktoren, die quasi als Abbildungen zwischen Kategorien aufgefasst werden können.
+\subsection{Kategorien}
+Zunächst müssen wir definieren was eine Kategorie ist:
+\begin{definition}[Kategorie]
+    Eine Kategorie $\mathscr{C}$ ist:
+    \begin{itemize}
+        \item eine Klasse von Objekten $\ob\mathscr{C}$
+        \item für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ eine Menge $\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ eine Menge 
+        von Morphismen zwischen den Objekten
+        \item für $A,B,C\in\ob\mathscr{C}$ eine Abbildung $\circ: \mor{\mathscr{C}}{B}{C}\times\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{A}{C}$ also 
+        Verkettung von Morphismen
+        \item Assoziativität der Morphismen bezüglich $\circ$ % TODO:Definition
+        \item Für jedes $A\in\ob\mathscr{C}$ ein $id_A\in\mor{\mathscr{C}}{A}{A}$ mit
+        $id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+Diese Definition ist bewusst recht allgemein gehalten um viele verschiedene Kategorien zu erlauben.
+Die Morphismen müssen dabei nicht unbedingt Abbildungen sein, sondern lediglich die oben genannte Definition erfüllen.
+Eine Klasse kann hier für alle Zwecke als Menge betrachtet werden.\\
+Die folgenden Beispiele erfüllen alle oben genannten Axiome und sind daher Kategorien:
+\begin{example}{\cat{Grp}}
+    Ist die Kategorie der Gruppen\\
+    \begin{itemize}
+        \item $\ob\cat{Grp}=$ alle Gruppen
+        \item $\mor{\cat{Grp}}{G}{H}=$ Gruppenhompmorphismen von $G$ nach $H$
+        \item $\circ:$ Komposition von Gruppenhomomorphismen
+    \end{itemize}
+    Das ist wohldefiniert und \cat{Grp} ist eine Kategorie.
+\end{example}
+\begin{example}{Mehr Beispiele}
+    \begin{itemize}
+        \item \cat{$\mathbb{K}$-VR} die Kategorie der $\mathbb{K}$-Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen 
+        \item \cat{Ringe} Die Kategorie der Ringe und Ringhomomorphismen
+        \item \cat{Körper} Die Kategorie der Körper und Körperhomomorphismen
+        \item \cat{Set} Die Kategorie der Mengen und aller Abbildungen
+        \item \cat{Ab} Abelsche Gruppen und Gruppenhomomorphismen
+        \item \cat{Top} Topologische Räume und stetige Abbildungen
+        \item \cat{MRäume} Metrische Räume
+        \item \cat{Euklid} Euklidische Vektorräume und Subisometrien
+        \item \cat{Set$^*$} Kategorie der punktierten Mengen ($(M,m)$, $M$ Menge, $m\in M$ $(M,m)\xmapsto{f}(N,n)$ Abbildung mit $f(m)=n$)
+    \end{itemize}
+\end{example}

main.tex

@@ -3,10 +3,25 @@
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{biolinum}
 \usepackage[a4paper]{geometry}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{mathtools}
 
 \biolinum
 
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}{Definition}[section]
+\newtheorem{example}{Beispiel}[section]
+
+\newcommand{\ob}{\mathsf{ob}\text{ }}
+\newcommand{\mor}[3]{\mathsf{Hom}_#1(#2,#3)}
+\newcommand{\cat}[1]{\textnormal{\textsf{\textbf{#1}}}}
+
 \begin{document}
 \include{./chapters/deckblatt.tex}
 \include{./chapters/motivation.tex}
+\include{./chapters/Grundlagen.tex}
 \end{document}