clara/category-theory
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Beispiel für Kern

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CDaut 2022-10-16 21:49:58 +02:00 • committed by CDaut
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28
chapters/Kegel_und_Ko.tex
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@ -589,8 +589,8 @@ aussehen können.
\begin{tikzpicture}
\node (L) at (0,0){$\bullet$};
\node (R) at (2,0){$\bullet$};
\node (K) at (-2,0){$K$};
\node (KE) at (-1,1){$\bullet$};
\node[red] (K) at (-2,0){$K$};
\node[blue] (KE) at (-1,1){$\bullet$};
\draw
(L) edge node[above]{$0$} (R)
@ -604,5 +604,25 @@ aussehen können.
\caption{Das Kommutative Diagramm für einen Kern}
\end{figure}\\
Auch der Kern existiert nicht in jeder Kategorie. Die Kategorien \cat{Ab}, \cat{Grp} und \cat{K-VR} haben
beispielsweise einen Kern wohingegen \cat{Set} keinen Besitzt.
\end{definition}
beispielsweise einen Kern wohingegen \cat{Set} keinen besitzt.
\end{definition}
\begin{example}{Kern der Kategorie \cat{K-VR}\\}
Betrachte folgendes kommutatives Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (L) at (0,0){$V$};
\node (R) at (2,0){$W$};
\node[red] (K) at (-2,0){$Kern(f)$};
\node[blue] (KE) at (-1,1.5){$T$};
\draw
(L) edge node[above]{$0$} (R)
(L) edge[bend right] node[below]{$f$}(R)
(K) edge[red] node[above]{$\iota$} (L)
(KE) edge[dotted] node[left]{$\varphi$} (K)
(KE) edge[blue] node[right]{$g$} (L)
;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Wobei $Kern(f):=\{v\in V|f(v)=0\}$ und $\varphi(t)=g(t)$
\end{example}