Kern

chapters/Kegel_und_Ko.tex

@@ -567,4 +567,42 @@ aussehen können.
     $V\mapsto V\coprod_X W$ ist definiert als $v\mapsto [(v,0)]$ und\\
     $\varphi: V\coprod_X W\mapsto T$ ist definiert als $[(v,w)]\mapsto g_V(v)+g_W(w)$
 \end{example}
-\subsection{Kern und Kokern}
+\subsection{Kern und Kokern}
+\begin{definition}{Kern\\}
+    Der Kern ist der Limes über dem Diagramm
+    \begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
+        \node (L) at (0,0){$\bullet$};
+        \node (R) at (1,0){$\bullet$};
+
+        \draw
+        (L) edge node[above]{$0$} (R)
+        (L) edge[bend right] (R)
+        ;
+    \end{tikzpicture}.
+    $0_{A,B}\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ ist dabei so definiert, dass für jeden Morphismus
+    $f\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ $0_{A,B}+f=f=f+0_{A,B}$ gilt. Nicht in jeder Kategorie
+    existiert solch eine Abbildung.\\
+    Gesucht ist also ein Kegel $K$ und eine Abbildung $\iota$, sodass folgendes Diagramm
+    kommutiert und $0\circ\iota=f\circ\iota$ gilt:\\
+    \begin{figure}[h]
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \node (L) at (0,0){$\bullet$};
+                \node (R) at (2,0){$\bullet$};
+                \node (K) at (-2,0){$K$};
+                \node (KE) at (-1,1){$\bullet$};
+
+                \draw
+                (L) edge node[above]{$0$} (R)
+                (L) edge[bend right] node[below]{$f$}(R)
+                (K) edge[red] node[above]{$\iota$} (L)
+                (KE) edge[dotted] (K)
+                (KE) edge[blue] (L)
+                ;
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+        \caption{Das Kommutative Diagramm für einen Kern}
+    \end{figure}\\
+    Auch der Kern existiert nicht in jeder Kategorie. Die Kategorien \cat{Ab}, \cat{Grp} und \cat{K-VR} haben
+    beispielsweise einen Kern wohingegen \cat{Set} keinen Besitzt.
+\end{definition}

chapters/nat_trafo.tex

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+\section{Natürliche Transformationen}