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Hom Funktor

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CDaut 2022-10-11 10:45:11 +02:00 • committed by CDaut
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12
chapters/Grundlagen.tex
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@ -237,7 +237,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
\begin{itemize}
\item $Y\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$\\
Ein $Y\in\mathscr{C}$ wird also auf die Morphismenmenge $\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$, die Morphismen, die in $\mathscr{C}$ von X auf Y existieren, abgebildet.
\item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
\item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto f^*=\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
\left[
\begin{aligned}
\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{Z} \\
@ -245,7 +245,11 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
\end{aligned}
\right]
$\\
Der Funktor bildet also jeden Morphismus $f$ von $Y$ nach $Z$ auf die oben definierte Funktion ab.
Gehen wir also von beliebigen $X,Y\in\mathscr{C}$ aus, zwischen denen ein Morphismus $f$ existiert, so werden diese vom Hom-Funktor auf die
Morphismenmengen $\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$ und $\mor{\mathscr{C}}{X}{Z}$ abgebildet. Das heißt, dass wir jetzt
noch definieren müssen, worauf die Morphismen $\mor{\mathscr{C}}{Y}{Z}$ abgebildet werden. Wir müssen also jeden Morphismus aus $\mor{\mathscr{C}}{Y}{Z}$ auf einen Morphismus $\mor{\cat{set}}{\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}}{\mor{\mathscr
{C}}{X}{Z}}$ abbilden. Dies geschieht, indem wir ihn einfach mit einem entsprechenden passenden Morphismus verknüpfen. Wir identifizieren also jeden Morphismus $g: X\mapsto Y$ mit seiner Verknüpfung mit $f: Y\mapsto Z$
und erhalten so einen neuen Morphismus $f^*$, der die geforderten Bedingungen erfüllt.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{example}{$\cat{R1ng}\mapsto\cat{Grp}$\\}
@ -336,7 +340,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
\begin{itemize}
\item $Y\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$\\
Ein $Y\in\mathscr{C}$ wird also auf die Morphismenmenge $\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$, die Morphismen, die in $\mathscr{C}$ von Y auf X existieren, abgebildet.
\item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
\item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto f^* =\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
\left[
\begin{aligned}
\mor{\mathscr{C}}{Z}{X}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X} \\
@ -344,7 +348,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
\end{aligned}
\right]
$\\
Der Funktor bildet also jeden Morphismus $g$ von $Z$ nach $X$ auf die oben definierte Funktion ab.
Der Funktor agiert analog zu seinem Kovarianten Gegenstück.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{example}{Punktierung von Mengen\\}