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example on functors

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CDaut 2022-09-27 20:13:43 +02:00 • committed by CDaut
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75
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@ -156,6 +156,77 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
$(V,+,\cdot)\mapsto V$ bildet einen Vektorraum auf die Menge der Vektoren ab und vergisst dabei alle anderen Informationen
wie z.B. über welchem Körper der Vektorraum definiert war und jegliche Operationen.
\end{example}
\begin{example}
Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum
\begin{example}{Ein Endofunktor\\}
Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. $\mathcal{F}:\cat{K-Vec}\mapsto\cat{K-Vec}$ mit $W\mapsto V\times W$. Funktoren mit gleicher Definitions und Bildkategorie nennt man Endofunktoren.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node(W) at (0,0){$W$};
\node(X) at (0,-1.5){$X$};
\node(VW) at (3,0){$V\times W$};
\node(VX) at (3,-1.5){$V\times X$};
\node(FVW) at (4.5,0){$(v,w)$};
\node(FVX) at (4.5,-1.5){$(v,f(w))$};
\path
(W) edge node[left]{$f$} (X)
(VW) edge (VX)
(FVW) edge (FVX)
(W) edge node[above]{$\mathcal{F}$} (VW)
;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Also werden Objekte aus der Definitions- auf Objekte aus der Bildkategorie und Morphismen aus der Definitions- auf Morphismen
aus der Bildkategorie abgebildet.\\
Bleibt noch zu zeigen, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node(W1) at (0,0){$W_1$};
\node(W2) at (2, 0){$W_2$};
\node(W3) at (4,0){$W_3$};
\path
(W1) edge node[above]{$f$} (W2)
(W2) edge node[above]{$g$} (W3)
(W1) edge[bend right=20] node[below]{$g\circ f$} (W3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Also:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
\node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
\node(vw) at (0,-1){$(v,w)$};
\node(vw3) at (4,-1){$(v,(g\circ f)(w))$};
\node(Func) at (6.5,-1){$\mathcal{F}(g\circ f)$};
\path
(VW1) edge (VW3)
(vw) edge (vw3)
;
\end{tikzpicture}
\end{center}
und
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
\node(VW2) at (2,0){$V\times W_2$};
\node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
\node(vw1) at (0,-1){$(v,w)$};
\node(vw2) at (2,-1){$(v,f(w)$};
\node(vw3) at (4,-1){$(v,g(f(w))$};
\node(Func) at (6.5,-1){$\mathcal{F}(g)\circ \mathcal{F}(f)$};
\path
(VW1) edge (VW2)
(VW2) edge (VW3)
(vw1) edge (vw2)
(vw2) edge (vw3)
;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Man sieht also, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
Damit ist $\mathcal{F}$ ein Funktor.
\end{example}