example on functors

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@@ -156,6 +156,77 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     $(V,+,\cdot)\mapsto V$ bildet einen Vektorraum auf die Menge der Vektoren ab und vergisst dabei alle anderen Informationen
     wie z.B. über welchem Körper der Vektorraum definiert war und jegliche Operationen.
 \end{example}
-\begin{example}
+\begin{example}{Ein Endofunktor\\}
-    Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum
+    Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. $\mathcal{F}:\cat{K-Vec}\mapsto\cat{K-Vec}$ mit $W\mapsto V\times W$. Funktoren mit gleicher Definitions und Bildkategorie nennt man Endofunktoren.
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+            \node(W) at (0,0){$W$};
+            \node(X) at (0,-1.5){$X$};
+
+            \node(VW) at (3,0){$V\times W$};
+            \node(VX) at (3,-1.5){$V\times X$};
+
+            \node(FVW) at (4.5,0){$(v,w)$};
+            \node(FVX) at (4.5,-1.5){$(v,f(w))$};
+
+            \path
+            (W) edge node[left]{$f$} (X)
+            (VW) edge (VX)
+            (FVW) edge (FVX)
+            (W) edge node[above]{$\mathcal{F}$} (VW)
+            ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    Also werden Objekte aus der Definitions- auf Objekte aus der Bildkategorie und Morphismen aus der Definitions- auf Morphismen
+    aus der Bildkategorie abgebildet.\\
+    Bleibt noch zu zeigen, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+            \node(W1) at (0,0){$W_1$};
+            \node(W2) at (2, 0){$W_2$};
+            \node(W3) at (4,0){$W_3$};
+
+            \path
+            (W1) edge node[above]{$f$} (W2)
+            (W2) edge node[above]{$g$} (W3)
+            (W1) edge[bend right=20] node[below]{$g\circ f$} (W3);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    Also:
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+            \node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
+            \node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
+            \node(vw) at (0,-1){$(v,w)$};
+            \node(vw3) at (4,-1){$(v,(g\circ f)(w))$};
+            \node(Func) at (6.5,-1){$\mathcal{F}(g\circ f)$};
+
+            \path
+            (VW1) edge (VW3)
+            (vw) edge (vw3)
+            ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    und
+        \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+            \node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
+            \node(VW2) at (2,0){$V\times W_2$};
+            \node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
+            \node(vw1) at (0,-1){$(v,w)$};
+            \node(vw2) at (2,-1){$(v,f(w)$};
+            \node(vw3) at (4,-1){$(v,g(f(w))$};
+            \node(Func) at (6.5,-1){$\mathcal{F}(g)\circ \mathcal{F}(f)$};
+
+            \path
+            (VW1) edge (VW2)
+            (VW2) edge (VW3)
+
+            (vw1) edge (vw2)
+            (vw2) edge (vw3)
+            ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    Man sieht also, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt. 
+    Damit ist $\mathcal{F}$ ein Funktor.
 \end{example}