\section{Natürliche Transformationen}
\begin{definition}{Natürliche Transformation\\}
    Seien
    \begin{tikzcd}
        \mathscr{C}
        \arrow[shift left, "\mathcal{F}"]{r}
        \arrow[shift right, "\mathcal{G}"']{r}
        &
        \mathscr{D}
    \end{tikzcd} Funktoren.\\
    Eine natürliche Transformation (nat. Trafo.) $\eta$ von $\mathcal{F}$ nach
    $\mathcal{G}$ ist eine Sammlung von Morphismen wie folgt:\\
    $\forall x\in\ob\mathscr{C}$ gilt $\mathcal{F}(x)\xrightarrow{\eta_x}\mathcal{G}(x)$, sodass\\
    $\forall f\in\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$ gilt: $\mathcal{G}(f)\circ\eta_x=\eta_y\circ\mathcal{F}(f)$. Folgendes Diagramm soll also kommutieren:
    \begin{figure}[h]
        \begin{center}
            \begin{tikzcd}[sep=large]
                X \arrow[d, "f"'] \\ Y
            \end{tikzcd}
            \hspace{20mm}
            \begin{tikzcd}[sep=large]
                \mathcal{F}(x) \arrow[r, "\eta_x"] \arrow[d, "\mathcal{F}(f)"]{}& \mathcal{G}(x) \arrow[d, "\mathcal{G}(f)"]\\
                \mathcal{F}(y) \arrow[r, "\eta_y"] & \mathcal{G}(y)
            \end{tikzcd}
        \end{center}
        \caption{Das kommutative Diagramm für eine natürliche Transformation $\eta$.}
    \end{figure}
\end{definition}
\begin{example}{Bidualisierung\\}
    Gegeben seien Die Funktoren:\\
    $\mathbb{D}:\cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
    $V\mapsto V^{*^*}$ und\\
    $id: \cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
    $V\mapsto V$\\
    Wir zeigen, dass eine nat. Trafo. $id\xrightarrow{\eta}\mathbb{D}$ existiert.\\
    Dazu definieren wir $\forall V\in\ob\cat{K-VR}:\eta_V:V\mapsto V^{*^*}$ mit $v\mapsto[\alpha\mapsto \alpha(v)]$.
    Das folgende Diagramm muss außerdem kommutieren:\\
    \begin{center}
        \begin{tikzcd}[sep=large]
            V \arrow[d, "\psi"'] \\ W
        \end{tikzcd}
        \hspace{20mm}
        \begin{tikzcd}[sep=large]
            V \arrow[r, "\eta_V"] \arrow[d, "\psi"]& V^{*^*} \arrow[d, "\psi^{*^*}"]\\
            W \arrow[r, "\eta_W"] & W^{*^*}
        \end{tikzcd}
    \end{center}
    Desweiteren gilt für die Dual- und Bidualabbildung: $W^*\xrightarrow{f^*}V^*:\alpha\mapsto\alpha\circ f$ und $V^{*^*}\xrightarrow{f^{*^*}}W^{*^*}:\alpha\mapsto\alpha\circ f^*$\\
    Bleibt noch die Kommutativität des oben genannten Diagramms zu zeigen:\\
    Sei $v\in V$ und $\alpha\in W^*$.\\
    \underline{Behauptung:}
    \begin{flalign*}
         & [(\psi^{*^*}\circ\eta_V)(v)](\alpha) \\
         & =[(\eta_W\circ\psi)(v)](\alpha)
    \end{flalign*}
    \underline{Beweis:}\\
    \begin{flalign*}
         & (\psi^{*^*}(\eta_V(v)))(\alpha) \\
         & =(\eta_V(v)\circ\psi^*)(\alpha) \\
         & =\eta_V(v)(\alpha\circ\psi)     \\
         & =(\alpha\circ\psi)(v)
    \end{flalign*}
    und
    \begin{flalign*}
         & ((\eta_W\circ\psi)(v))(\alpha) \\
         & = (\eta_W(\psi(v)))(\alpha)    \\
         & =\alpha(\psi(v))               \\
         & =(\alpha\circ\psi)(v)
    \end{flalign*}
    $\implies$ Beh.\qed

\end{example}