\section{Kegel und Ko}
\subsection{Kegel und Limiten}
\begin{definition}{Diagramm\\}
    Ein Diagramm in einer Kategorie $\mathscr{C}$ ist ein Funktor\\
    $\mathcal{F}:I\mapsto\mathscr{C}$ von einer kleinen\footnote{Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Nicht kleine Kategorien werden hier nicht betrachtet.} Kategorie I. Ein Diagramm bettet also quasi eine kleine Kategorie
    in eine andere ein.
\end{definition}
\begin{definition}{Kegel\\}
    Ein Kegel über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein Objekt $K$ aus
    $\mathscr{C}$ und Morphismen $K\xrightarrow{f_i}\mathcal{F}(i)$ für alle $i\in\ob I$ sodass
    alle Diagramme kommutieren.
\end{definition}
\begin{center}
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
            \node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
            \node [blue] (K) at (1.5,2) {$K$};
            \node (ul) at (-1, 3){};
            \node (lr) at (4, -1){};
            \node (C) at (-0.5, 2.5) {$\mathscr{C}$};
            \draw
            (K) edge[blue] (Fi)
            (K) edge[blue] (Fj)
            (Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
            (Fi) edge[loop, out=90+45, in=180, looseness=3] (Fi)
            (Fj) edge[loop, out=90-45, in=0, looseness=3] (Fj)

            (ul) rectangle (lr);
            ;
        \end{tikzpicture}\\
        \begin{tikzpicture}
            \node (i) at (0,0) {$i$};
            \node (j) at (3,0){$j$};
            \node (ul) at (-1,1.5){};
            \node (lr) at (4,-1){};
            \node (I) at (-0.5, 1){$I$};

            \draw
            (i) edge node[below]{$f$} (j)
            (i) edge[loop, out=90, in=180, looseness=4] (i)
            (j) edge[loop, out=90, in=0, looseness=4] (j)
            (ul) rectangle (lr)
            ;
        \end{tikzpicture}
        \caption{Eine Kategorie $\mathscr{C}$ und eine Kleine Kategorie $I$, die vom Diagramm
            $\mathcal{F}$ in $\mathscr{C}$ abgebildet wird. Außerdem der Kegel $K$ in blau. }
    \end{figure}
\end{center}
$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.
\begin{definition}{Limes\\}
    Ein Limes über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein universeller Kegel L:
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
            \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
            \node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
            \node [red] (L) at (1.5,1.5) {$L$};
            \node [blue] (K) at (1.5,3) {$K$};

            \draw
            (L) edge[red] node[left]{$g_i$} (Fi)
            (L) edge[red] node[right]{$g_j$} (Fj)
            (K) edge[blue, bend right] node[left]{$f_i$} (Fi)
            (K) edge[blue, bend left] node[right]{$f_j$} (Fj)
            (K) edge[dotted] (L)
            (Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
            ;
        \end{tikzpicture}\\
    \end{center}
    Ein Kegel, sodass für jeden Kegel $K$ über $\mathcal{F}$ ein eindeutiger
    Morphismus $K\mapsto L$ existiert, sodass $f_i=g_i\circ (K\mapsto L)$.
    Der Limes ist hier rot dargestellt und der Beispielkegel blau.
\end{definition}
Nachdem nun definiert wurde was Diagramme, Kegel und Limiten sind, sollen nun einige Beispiele
angeführt werden, wie eben solche Kegel und Limiten über bestimmten Kategorien
aussehen können.

\begin{example}{Leere Kategorie\\}
    Es sei $I$ die leere Kategorie. Also $\ob I=\varnothing=\mor{I}{\cdot}{\cdot}$.\\
    \begin{itemize}
        \item Allgemein: $lim(I) =$ terminales Objekt
        \item Für $\cat{set}:\text{Kegel}_I =\ob\cat{set}$ und $lim(I)=\{*\}$
        \item Für $\cat{grp}=\{e\}$
        \item Für $\cat{K-VR}=\{0\}$
    \end{itemize}
    Dieses Beispiel ist relativ uninteressant, da $I$ keine Objekte enthält und somit
    die Anforderungen um Kegel bzw. Limiten zu finden nicht besonders hoch sind.
\end{example}
\newpage
\begin{example}{Einelementige Kategorie\\}
    Sei $I=$
    \begin{tikzpicture}[baseline=2mm]
        \node (i) at (0,0) {i};
        \draw
        (i) edge[loop, looseness=5] (i)
        ;
    \end{tikzpicture}
    die Kategorie mit einem Element und dem Identitätsmorphismus. Betrachten
    wir nun allgemein eine Kategorie $\mathscr{C}$ und ein Diagramm $\mathcal{F}: \mathscr{C}\mapsto I$.
    Dann gilt $\text{Kegel}_{\mathscr{C}}(I)=$
    \begin{tikzpicture}[baseline=4mm]
        \node (1)[blue] at (0,1) {$\cdot$};
        \node (2) at (0,0) {$\cdot$};
        \draw
        (1) edge[blue] (2)
        ;
        \draw[decorate,decoration={brace}] (1.north east) -- (2.south east);
        \draw[decorate,decoration={brace, mirror}] (1.north west) -- (2.south west);
    \end{tikzpicture}
    $=$Alle Objekte in $\mathscr{C}$, die einen Morphismus nach $\mathcal{F}(i)$ haben.\\
    $\text{lim}(\mathcal{F})=\mathcal{F}(i)$:\\
    \begin{center}
        \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{minipage}{0.3\linewidth}
                \centering
                \begin{tikzpicture}
                    \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
                    \node (L)[red] at (0,2){$\cdot$};
                    \node (K)[blue] at (1,1){$\cdot$};

                    \draw
                    (L) edge[red] (Fi)
                    (K) edge[dotted] (L)
                    (K) edge[blue] (Fi)
                    ;
                \end{tikzpicture}
                \caption{Ein allgemeines Diagramm für Kegel (blau) und Limes (rot) über dieser Kategorie}
            \end{minipage}
            \hspace{10mm}
            \begin{minipage}{0.3\linewidth}
                \centering
                \begin{tikzpicture}
                    \node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
                    \node (L)[red] at (0,2){$\mathcal{F}(i)$};
                    \node (K)[blue] at (2,2){$\cdot$};

                    \draw
                    (L) edge[red] (Fi)
                    (K) edge[dotted] (L)
                    (K) edge[blue] (Fi)
                    ;
                \end{tikzpicture}
                \caption{Das selbe Diagramm erhält man, wenn man $\text{lim }\mathcal{F}=\mathcal{F}(i)$ setzt.}
            \end{minipage}
        \end{figure}
    \end{center}
\end{example}
\begin{example}{Kategorie mit zwei Objekten\\}
    Es sei I=
    \begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
        \node(A) at (0,0){$\cdot$};
        \node(B) at (0.5,0){$\cdot$};
        \node (center) at (0.25, 0){};

        \draw (center) ellipse (0.5 and 0.25);
    \end{tikzpicture}
    eine kleine Kategorie. Dann suchen wir einen Limes $L$, sodass für alle Kegel
    folgendes Diagramm kommutiert:\\
    \begin{center}


        \begin{tikzpicture}
            \node (Fi) at (0,0) {$\cdot$};
            \node (Fj) at (3,0) {$\cdot$};
            \node [red] (L) at (1.5,1.5) {$L$};
            \node [blue] (K) at (1.5,3) {$K$};

            \draw
            (L) edge[red] (Fi)
            (L) edge[red]  (Fj)
            (K) edge[blue, bend right] (Fi)
            (K) edge[blue, bend left] (Fj)
            (K) edge[dotted] (L)
            ;
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    Für \cat{set}:\\
    gegeben $M,N$. Dann ist $\text{lim}\left(
        \begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
                \node(A) at (0,0){$\cdot$};
                \node(B) at (0.5,0){$\cdot$};
                \node (center) at (0.25, 0){};

                \draw (center) ellipse (0.5 and 0.25);
            \end{tikzpicture}
        \right):=$ Produkt.\\
    \begin{center}


        \begin{tikzpicture}
            \node (M) at (0,0) {$M$};
            \node (N) at (3,0) {$N$};
            \node [red] (L) at (1.5,1.5) {$M\times N$};
            \node [blue] (K) at (1.5,3) {$T$};

            \draw
            (L) edge[red] node[left]{$\Pi_M$} (Fi)
            (L) edge[red] node[right]{$\Pi_N$} (Fj)
            (K) edge[blue, bend right] node[left]{$f_M$} (M)
            (K) edge[blue, bend left] node[right]{$f_N$} (N)
            (K) edge[dotted] (L)
            ;
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    Wobei T hier ein Testobjekt aus \cat{set}, $\Pi_M((m,n))=m$ und der Morphismus $T\mapsto M\times N$
    definiert ist als $t\mapsto (f_M(t),f_N(t))$. Analog funktionieren die Limiten für \cat{Grp} und \cat{K-VR}.
\end{example}
\begin{lemma}{Limiten sind eindeutig bis auf eindeutige Isomorphismen.\\}
    Sei $D:\mathcal{I}\mapsto\mathscr{C}$ ein Diagramm, $(L,f_*),(\tilde{L},\tilde{f_*})$ Limiten über $D$.
    \begin{center}
        \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \node (L1) at (0,3) {$L$};
                \node (L2) at (3,3) {$\tilde{L}$};
                \node (P1) at (0,0) {};
                \node (P2) at (1.5,0) {};
                \node (P3) at (3,0) {};

                \draw
                (L1) edge[dotted] (P1)
                (L1) edge node[left]{$f_i$} (P2)
                (L2) edge node[right]{$\tilde{f_i}$} (P2)
                (L2) edge[dotted]  (P3)
                (L1) edge[dotted, bend right] node[below]{$\tilde{\varphi}$}(L2)
                (L2) edge[dotted, bend right] node[above]{$\varphi$} (L1)
                ;
                \draw (P2) ellipse (2 and 0.5);
            \end{tikzpicture}
            \caption{Zwei Limiten über einem Diagramm und zugehörige Morphismen}
        \end{figure}
    \end{center}
    $L$ Limes $\Rightarrow$ Es existiert ein $\varphi:\tilde{L}\mapsto L$ mit
    $f_i\circ\varphi=\tilde{f_i}$ für alle $i\in I$.\\
    $\tilde{L}$ Limes $\Rightarrow$ Es existiert ein $\tilde{\varphi}: L\mapsto\tilde{L}$ mit
    $\tilde{f_i}\circ\tilde{\varphi}=f_i$\\
    \textbf{Beh}: $\varphi=\tilde{\varphi}^{-1}$\\
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
            \node (L1) at (0,2) {$L$};
            \node (L2) at (2,2) {$L$};
            \node (P1) at (0,0) {};
            \node (P2) at (2,0) {};
            \node (center) at (1,0){};

            \draw
            (L1) edge node[right]{$f_i$}  (P1)
            (L2) edge (P1)
            (L1) edge (P2)
            (L2) edge node[left]{$f_i$} (P2)
            (L2) edge node[above]{$\varphi\circ\tilde{\varphi}$}(L1)
            ;
            \draw (center) ellipse (2 and 0.5);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    $f_i\circ (\varphi\circ\tilde{\varphi})=\tilde{f_i}\circ\tilde{\varphi}=f_i$
    Also $f_i\circ(id_L)=f_i$\\
    $\Rightarrow\varphi\circ\tilde{\varphi}=id_L$\\
    Analog: $\tilde{\varphi}\circ\varphi=id_{\tilde{L}}$
    \qed
\end{lemma}
\subsection{Kokegel und Kolimes}
\begin{definition}{Kokegel \& Kolimes\\}
    Sei $D:I\mapsto\mathscr{C}$ ein Diagramm.\\
    Kokegel:
    \begin{tikzpicture}[baseline=5mm]
        \node[blue] (K) at (0, 0){$K_{co}$};
        \node (P1) at (-1, 1){$\cdot$};
        \node (P2) at (1, 1){$\cdot$};
        \node (center) at (0,1){};

        \draw
        (P1) edge (P2)
        (P1) edge[blue] (K)
        (P2) edge[blue] (K)
        ;
        \draw (center) ellipse (1.25 and 0.25);
    \end{tikzpicture}
    Ein Objekt $K$ aus $\mathscr{C}$, sodass von jedem Objekt aus $\mathscr{C}$
    Morphismen auf $K$ existieren und alle Dreiecke kommutieren.\\
    Ein Kolimes ist ein universeller Kokegel:\\
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
            \node[red] (L) at (0, 0){$L_{co}$};
            \node (P1) at (-2, 2){$\cdot$};
            \node (P2) at (2, 2){$\cdot$};
            \node (center) at (0,2){};
            \node[blue] (K) at (0, -1.5){$K_{co}$};

            \draw
            (P1) edge (P2)
            (P1) edge[red] (L)
            (P2) edge[red] (L)
            (P1) edge[blue, bend right] (K)
            (P2) edge[blue, bend left] (K)
            (L) edge[dotted] (K)
            ;
            \draw (center) ellipse (3 and 0.5);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    Ein Kokegel, sodass auf jeden anderen Kokegel ein Morphismus existiert und alle
    Dreiecke kommutieren.
\end{definition}
\begin{example}{Kolimiten für $I=\varnothing$\\}
    \begin{figure}[h]
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \node (center) at (0, 2){};
                \node[red] (L) at (0,1){$L_{co}$};
                \node[blue] (K) at (0,0){$K_{co}$};
                \draw
                (L) edge[dotted] (K)
                (center) ellipse (1 and 0.25)
                ;
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        \caption{Die leere Kategorie als Bild des Diagramms und wie der zu findende
            Kolimes im Verhältnis zu dieser stehen muss.}
    \end{figure}\\
    Diesen Kolimes nennt man allgemein auch \textit{Initiales Objekt}. Folgende Objekte sind initiale Objekte der jeweiligen Kategorie:
    \begin{itemize}
        \item \cat{set} $\varnothing$
        \item \cat{Grp} $\{e\}$
        \item \cat{K-VR} $\{0\}$
        \item \cat{Top} $\varnothing$
        \item \cat{R1ng} $\mathbb{Z}$
    \end{itemize}
    Dies lässt sich leicht verifizieren, indem man prüft, dass die jeweiligen initialen Objekte die Kolimeseigenschaften der respektiven Kategorie erfüllen.
\end{example}
\begin{example}
    {$I=$
        \begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
            \node (P1) at (0,0){$\cdot$};
            \node (P2) at (0.5,0){$\cdot$};
            \node (center) at (0.25,0){};
            \draw (center) ellipse (0.5 and 0.25);
        \end{tikzpicture}
        \\}
    Für dieses $I$ sind die Kolimiten die \textit{Koprodukte}.\\
    \underline{Beispiel \cat{Set}:}\\
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[baseline=0mm]
            \node[red] (L) at (0,0){$M\dot{\cup} N$};
            \node[blue] (T) at (0,-2){$T$};
            \node (M) at (-2,2){$M$};
            \node (N) at (2,2){$N$};

            \draw
            (M) edge node[sloped, above]{$m\mapsto m$} (L)
            (N) edge node[sloped, above]{$n\mapsto n$}(L)
            (L) edge[dotted] node[right]{$\varphi$} (T)
            (M) edge[blue, bend right] node[left]{$f_M$} (T)
            (N) edge[blue, bend left] node[right]{$f_N$} (T)
            ;
        \end{tikzpicture}
        \hspace{20mm}
        $\varphi:M\dot{\cup}N\mapsto T$ mit
        $x\mapsto
            \begin{cases}
                f_M(x) & x\in M \\
                f_N(x) & x\in N
            \end{cases}
        $
    \end{center}
    \underline{Beispiel \cat{K-VR}:}\\
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[baseline=0mm]
            \node[red] (L) at (0,0){$V\oplus W$};
            \node[blue] (T) at (0,-2){$T$};
            \node (M) at (-2,2){$V$};
            \node (N) at (2,2){$W$};

            \draw
            (M) edge node[sloped, above]{$v\mapsto (v,0)$} (L)
            (N) edge node[sloped, above]{$w\mapsto (0,w)$}(L)
            (L) edge[dotted] node[right]{$\varphi$} (T)
            (M) edge[blue, bend right] node[left]{$f_V$} (T)
            (N) edge[blue, bend left] node[right]{$f_W$} (T)
            ;
        \end{tikzpicture}
        \hspace{20mm}
        $\varphi:V\oplus W\mapsto T$ mit
        $(v,w)\mapsto f_V(v) + f_W(w) $
    \end{center}
    \underline{Beispiel \cat{Grp}:\\}
    \begin{center}
        \begin{minipage}{0.3\linewidth}
            \begin{tikzpicture}[baseline=0mm]
                \node[red] (L) at (0,0){$G*H$};
                \node[blue] (T) at (0,-2){$T$};
                \node (M) at (-2,2){$G$};
                \node (N) at (2,2){$H$};

                \draw
                (M) edge (L)
                (N) edge (L)
                (L) edge[dotted] node[right]{$\varphi$} (T)
                (M) edge[blue, bend right] node[left]{$f_G$} (T)
                (N) edge[blue, bend left] node[right]{$f_H$} (T)
                ;
            \end{tikzpicture}
        \end{minipage}
        \hspace{25mm}
        \begin{minipage}{0.5\linewidth}
            $G*H$ bezeichnet dabei die Menge aller Worte in $G$ und $H$.\\
            $\varphi: G*H\mapsto T$ ersetzt im Wort $g$ durch $f_G(G)$ und $h$
            durch $f_H(h)$.
        \end{minipage}
    \end{center}
\end{example}
\subsection{Pullback und Pushout}
\begin{definition}{Pullback\\}
    Ein Pullback ist der Limes des Diagramms
    \begin{tikzpicture}[baseline=0mm]
        \node (A) at (0,0){$\cdot$};
        \node (B) at (1,0){$\cdot$};
        \node (C) at (1,1){$\cdot$};

        \draw
        (A) edge (B)
        (C) edge (B)
        ;
    \end{tikzpicture}
    also ein Limes $L$, sodass folgendes Diagramm kommutiert:\\
    \begin{figure}[h]
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \node (A) at (0,0){$\cdot$};
                \node (B) at (2,0){$\cdot$};
                \node (C) at (2,2){$\cdot$};
                \node[red] (L) at (0,2){$P$};
                \node[blue] (T) at (-1,3){$T$};

                \draw
                (A) edge (B)
                (C) edge (B)
                (L) edge[red] (A)
                (L) edge[red]  (C)
                (T) edge[dotted] (L)
                (T) edge[blue, bend right] (A)
                (T) edge[blue, bend left] (C)
                ;
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        \caption{Das Kommutative Diagramm für einen Pullback}
    \end{figure}
\end{definition}
\begin{example}{Pullback über der Kategorie \cat{K-VR}\\}
    Damit $P$ ein Pullback ist, muss folgendes Diagramm kommutieren:\\
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
            \node (V) at (0,0){$V$};
            \node (X) at (2,0){$X$};
            \node (W) at (2,2){$W$};
            \node[red] (L) at (0,2){$P$};

            \draw
            (V) edge node[below]{$f_V$} (X)
            (W) edge node[right]{$f_W$} (X)
            (L) edge[red] node[left]{$\Pi_V$} (V)
            (L) edge[red]  node[above]{$\Pi_V$}(W)
            ;

        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    Mit $P:=\{(v,w)\in V\times W|f_V(v)=f_W(w)\}$\\
    Es ist also zu zeigen, dass:
    \begin{itemize}
        \item P ein $\mathbb{K}$-Vektorraum ist
        \item P Limes über dem Diagramm ist
    \end{itemize}
    $P$ ist $\mathbb{K}$-Vektorraum:\\
    $(v,w)+(\tilde{v},\tilde{w})=(v+\tilde{v},w+\tilde{w})$\\
    $f_V(v+\tilde{v})=f_V(v)+f_V(\tilde{v})=f_W(w)+f_W(\tilde{w})=f_W(w+\tilde{w})$\\
    $\implies P$ ist $\mathbb{K}$-Vektorraum.\\
    P ist ein Limes:
    Da $P$ Morphismen auf alle Objekte im Bild des Diagramms hat, ist $P$ ein Kegel.\\
    Betrachte folgendes Diagramm:
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
            \node (V) at (0,0){$V$};
            \node (X) at (2,0){$X$};
            \node (W) at (2,2){$W$};
            \node[red] (P) at (0,2){$P$};
            \node[blue] (T) at (-1,3){$T$};

            \draw
            (V) edge node[below]{$f_V$}(X)
            (W) edge node[right]{$f_W$} (X)
            (P) edge[red] node[left]{$\Pi_V$}(V)
            (P) edge[red] node[above]{$\Pi_W$} (W)
            (T) edge[dotted] node[above]{$\varphi$} (P)
            (T) edge[blue, bend right] node[left]{$g_V$} (V)
            (T) edge[blue, bend left] node[above]{$g_W$} (W)
            ;
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    Wir müssen also ein $\varphi$ definieren, sodass $\varphi\circ\Pi_V=g_V$ und
    $\varphi\circ\Pi_W=g_W$ gilt und das Diagramm kommutiert.\\
    Definiere dazu $\varphi:T\mapsto P$ als $t\mapsto (g_V(t),g_W(t))$\\
    $\implies P$ ist Limes.\\
    Da $P$ ein Vektorraum und Limes über dem Pullbackdiagramm ist, ist $P$ Pullback über \cat{K-VR}.
    \qed
\end{example}
\begin{definition}{Pushout\\}
    Ein Pushout ist der Kolimes des Diagramms
    \begin{tikzpicture}[baseline=-5mm]
        \node (X) at (0,0){$\cdot$};
        \node (V) at (0,-1){$\cdot$};
        \node (W) at (1,0){$\cdot$};

        \draw
        (X) edge (V)
        (X) edge (W)
        ;
    \end{tikzpicture}.
    Also ein Kolimes, sodass folgendes Diagramm kommutiert:\\
    \begin{figure}[h]
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \node (X) at (0,0){$\cdot$};
                \node (V) at (0,-2){$\cdot$};
                \node (W) at (2,0){$\cdot$};
                \node[red] (P) at (2,-2){$P$};
                \node[blue] (T) at (3,-3){$T$};

                \draw
                (X) edge (V)
                (X) edge (W)
                (V) edge[red] (P)
                (W) edge[red] (P)
                (V) edge[blue, bend right] (T)
                (W) edge[blue, bend left] (T)
                (P) edge[dotted] (T)
                ;
            
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        \caption{Das kommutative Diagramm für einen Pushout.}
    \end{figure}
\end{definition}