\section{Natürliche Transformationen}
\begin{definition}{Natürliche Transformation\\}
    Seien
    \begin{tikzcd}
        \mathscr{C}
        \arrow[shift left, "\mathcal{F}"]{r}
        \arrow[shift right, "\mathcal{G}"']{r}
        &
        \mathscr{D}
    \end{tikzcd} Funktoren.\\
    Eine natürliche Transformation (nat. Trafo.) $\eta$ von $\mathcal{F}$ nach
    $\mathcal{G}$ ist eine Sammlung von Morphismen wie folgt:\\
    $\forall x\in\ob\mathscr{C}$ gilt $\mathcal{F}(x)\xrightarrow{\eta_x}\mathcal{G}(x)$, sodass\\
    $\forall f\in\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$ gilt: $\mathcal{G}(f)\circ\eta_x=\eta_y\circ\mathcal{F}(f)$. Folgendes Diagramm soll also kommutieren:
    \begin{figure}[h]
        \begin{center}
            \begin{tikzcd}[sep=large]
                X \arrow[d, "f"'] \\ Y
            \end{tikzcd}
            \hspace{20mm}
            \begin{tikzcd}[sep=large]
                \mathcal{F}(x) \arrow[r, "\eta_x"] \arrow[d, "\mathcal{F}(f)"]{}& \mathcal{G}(x) \arrow[d, "\mathcal{G}(f)"]\\
                \mathcal{F}(y) \arrow[r, "\eta_y"] & \mathcal{G}(y)
            \end{tikzcd}
        \end{center}
        \caption{Das kommutative Diagramm für eine natürliche Transformation $\eta$.}
    \end{figure}
\end{definition}
\begin{example}{Bidualisierung\\}
    Gegeben seien Die Funktoren:\\
    $\mathbb{D}:\cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
    $V\mapsto V^{*^*}$ und\\
    $id: \cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
    $V\mapsto V$\\
    Wir zeigen, dass eine nat. Trafo. $id\xrightarrow{\eta}\mathbb{D}$ existiert.\\
    Dazu definieren wir $\forall V\in\ob\cat{K-VR}:\eta_V:V\mapsto V^{*^*}$ mit $v\mapsto[\alpha\mapsto \alpha(v)]$.
    Das folgende Diagramm muss außerdem kommutieren:\\
    \begin{center}
        \begin{tikzcd}[sep=large]
            V \arrow[d, "\psi"'] \\ W
        \end{tikzcd}
        \hspace{20mm}
        \begin{tikzcd}[sep=large]
            V \arrow[r, "\eta_V"] \arrow[d, "\psi"]& V^{*^*} \arrow[d, "\psi^{*^*}"]\\
            W \arrow[r, "\eta_W"] & W^{*^*}
        \end{tikzcd}
    \end{center}
    Desweiteren gilt für die Dual- und Bidualabbildung: $W^*\xrightarrow{f^*}V^*:\alpha\mapsto\alpha\circ f$ und $V^{*^*}\xrightarrow{f^{*^*}}W^{*^*}:\alpha\mapsto\alpha\circ f^*$\\
    Bleibt noch die Kommutativität des oben genannten Diagramms zu zeigen:\\
    Sei $v\in V$ und $\alpha\in W^*$.\\
    \underline{Behauptung:}
    \begin{flalign*}
         & [(\psi^{*^*}\circ\eta_V)(v)](\alpha) \\
         & =[(\eta_W\circ\psi)(v)](\alpha)
    \end{flalign*}
    \underline{Beweis:}\\
    \begin{flalign*}
         & (\psi^{*^*}(\eta_V(v)))(\alpha) \\
         & =(\eta_V(v)\circ\psi^*)(\alpha) \\
         & =\eta_V(v)(\alpha\circ\psi)     \\
         & =(\alpha\circ\psi)(v)
    \end{flalign*}
    und
    \begin{flalign*}
         & ((\eta_W\circ\psi)(v))(\alpha) \\
         & = (\eta_W(\psi(v)))(\alpha)    \\
         & =\alpha(\psi(v))               \\
         & =(\alpha\circ\psi)(v)
    \end{flalign*}
    $\implies$ Beh.\qed

\end{example}
\begin{example}{Determinante\\}
    Es seien $\times: R\mapsto R^\times$ und $GL_n: R\mapsto GL_n(R)$ Funktoren von
    $\cat{KR1ng}$ nach $\cat{Grp}$. Dann ist die Determinantenabbildung ($det$) eine
    Natürliche Transformation $GL_n\mapsto\times$. Dabei ist
    $det_2: GL_n(R)\mapsto R^\times$ definiert als $A\mapsto det(A)$. Folgendes kommutative Diagramm
    stellt die Situation dar:\\
    \begin{center}
        \begin{tikzcd}[sep=large]
            R \arrow[d, "f"'] \\ S
        \end{tikzcd}
        \hspace{20mm}
        \begin{tikzcd}[sep=large]
            GL_n(R) \arrow[r, "det"] \arrow[d, "g"]{}& R^\times \arrow[d, "f^\times"]\\
            GL_n(S) \arrow[r, "det"] & S^\times
        \end{tikzcd}
    \end{center}
    Wobei $g: A=(a_{ij})\mapsto(f(a_{ij}))$\\ %TODO: Typeset this as on blackboard
    Dieses Diagramm kommutiert (ohne Beweis), also ist die Determinante eine natürliche Transformation.
\end{example}
\subsection{Adjunktion von Funktoren}
Seien
\begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
    \node (C) at (0,0) {$\mathscr{C}$};
    \node (D) at (2,0) {$\mathscr{D}$};

    \draw
    (C) edge[bend left] node[above]{$\mathcal{F}$} (D)
    (D) edge[bend left] node[below]{$\mathcal{G}$} (C)
    ;
\end{tikzpicture}
Funktoren.\\
\begin{center}
    \begin{tikzcd}[sep=large]
        x\arrow[d, "f"'] & y \arrow[d, "g"']\\ \tilde{x} & \tilde{y}
    \end{tikzcd}
    \hspace{20mm}
    \begin{tikzcd}[sep=large]
        \mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(\tilde{x})}{y} \arrow[r, "\eta_{\tilde{x},y}"]  & \mor{\mathscr{C}}{\tilde{x}}{\mathcal{G}(y)}\\
        \mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(x)}{y} \arrow[r, "\eta_{x,y}"] \arrow[u, "\mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(x)}{y}"] & \mor{\mathscr{C}}{x}{\mathcal{G}(y)} \arrow[u, "\mor{\mathscr{C}}{f}{\mathcal{G}(y)}"']\\
        \mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(x)}{\tilde{y}} \arrow[r, "\eta_{x,\tilde{y}}"] \arrow[u, "\mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(x)}{g}"]& \mor{\mathscr{C}}{x}{\mathcal{G}(\tilde{y})} \arrow[u, "\mor{\mathscr{C}}{x}{\mathcal{G}(g)}"']\\
    \end{tikzcd}
\end{center}
\begin{definition}{Adjunktion von Funktoren\\}
    Eine Adjunktion von $\mathcal{F}$ und $\mathcal{G}$ ist ein natürlicher Isomorphismus von\\
    $\mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(\_)}{\_}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{\_}{\mathcal{G}(\_)}$.
\end{definition}
\begin{example}{\glqq currying''\\}
    Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-VR. Die Funktoren $\mor{\mathbb{K}}{V}{\_}$ und $ \_\otimes V$ sind adjungiert.\\
    Es gilt also $\mor{\mathbb{K}}{W\otimes V}{X}\cong\mor{\mathbb{K}}{W}{\mor{\mathbb{K}}{V}{X}}$
    %TODO: Leonid fragen was das ist & besser erklären
\end{example}
\begin{example}{Weitere Beispiele\\}
    % Keine Ahnung was das sein soll...
    $\mathcal{F}: \cat{set}\mapsto\cat{K-VR}$\\
    $M\mapsto\mathcal{F}(M)$ freier VR und
    $?: \cat{K-VR}\mapsto\cat{set}$\\
    $V\mapsto V$\\
    Dann sind $\mathcal{F}$ und $?$ adjungiert. Es gilt also 
    $\mor{\mathbb{K}}{\mathcal{F}(M)}{V}\cong\mor{\cat{set}}{M}{?(V)}$ mit
    $\Phi\mapsto\Phi_M$ und $f\mapsto\left[\sum\lambda_m m\mapsto\sum\lambda_m f(m)\right]$
\end{example}
\begin{example}{}
    //Ausfüllen
    %Verstehe das Beispiel nicht, kann es also nicht aufschreiben.
\end{example}
% Viele andere Beispiele, die Ich zu wenig verstehe um sie aufschreiben zu können...