\section{Grundlagen}
Oft betrachtet man in der Kategorientheorie Kategorien und sogenannte Funktoren, die quasi als Abbildungen zwischen Kategorien aufgefasst werden können.
\subsection{Kategorien}
Zunächst müssen wir definieren was eine Kategorie ist:
\begin{definition}[Kategorie]
    Eine Kategorie $\mathscr{C}$ ist:
    \begin{itemize}
        \item eine Klasse von Objekten $\ob\mathscr{C}$
        \item für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ eine Menge $\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ eine Menge
              von Morphismen zwischen den Objekten
        \item für $A,B,C\in\ob\mathscr{C}$ eine Abbildung $\circ: \mor{\mathscr{C}}{B}{C}\times\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{A}{C}$ also
              Verkettung von Morphismen
        \item Assoziativität der Morphismen bezüglich $\circ$ % TODO:Definition
        \item Für jedes $A\in\ob\mathscr{C}$ ein $id_A\in\mor{\mathscr{C}}{A}{A}$ mit
              $id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$
    \end{itemize}
\end{definition}
Diese Definition ist bewusst recht allgemein gehalten um viele verschiedene Kategorien zu erlauben.
Die Morphismen müssen dabei nicht unbedingt Abbildungen sein, sondern lediglich die oben genannte Definition erfüllen.
Eine Klasse kann hier für alle Zwecke als Menge betrachtet werden.\\
Die folgenden Beispiele erfüllen alle oben genannten Axiome und sind daher Kategorien:
\begin{example}{\cat{Grp}}
    Ist die Kategorie der Gruppen\\
    \begin{itemize}
        \item $\ob\cat{Grp}=$ alle Gruppen
        \item $\mor{\cat{Grp}}{G}{H}=$ Gruppenhompmorphismen von $G$ nach $H$
        \item $\circ:$ Komposition von Gruppenhomomorphismen
    \end{itemize}
    Das ist wohldefiniert und \cat{Grp} ist eine Kategorie.
\end{example}
\begin{example}{Mehr Beispiele}
    \begin{itemize}
        \item \cat{$\mathbb{K}$-VR} die Kategorie der $\mathbb{K}$-Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen
        \item \cat{Ringe} Die Kategorie der Ringe und Ringhomomorphismen
        \item \cat{Körper} Die Kategorie der Körper und Körperhomomorphismen
        \item \cat{Set} Die Kategorie der Mengen und aller Abbildungen
        \item \cat{Ab} Abelsche Gruppen und Gruppenhomomorphismen
        \item \cat{Top} Topologische Räume und stetige Abbildungen
        \item \cat{MRäume} Metrische Räume
        \item \cat{Euklid} Euklidische Vektorräume und Subisometrien
        \item \cat{Set$^*$} Kategorie der punktierten Mengen ($(M,m)$, $M$ Menge, $m\in M$ $(M,m)\xmapsto{f}(N,n)$ Abbildung mit $f(m)=n$)
    \end{itemize}
\end{example}
\begin{example}{Eine Kategorie in der die Morphismen keine Abbildungen sind\\}
    Sei $(G,\square)$ eine Gruppe. $\cat{G}$ ist definiert als:
    \begin{itemize}
        \item $\ob G :=\{*\}$
        \item $\mor{\cat{G}}{*}{*}=G$
        \item für $f,g\in\mor{\cat{G}}{*}{*}$ definiere $f\circ g:=f\square g$
        \item $id_*=e_G$
    \end{itemize}
    Die Morphismen von \cat{G} sind hier also keine Abbildungen, sondern die Elemente der Gruppe.
\end{example}
Oft werden Kategorien mit Hilfe von Graphen dargestellt.
Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher folgendermaßen dargestellt:

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
        \node[circle,draw,thick](star){$*$};
        \path
        (star) edge[loop,thick] node {f} (star)
        (star) edge[loop,thick] node {g} (star)
        (star) edge[loop,thick] node {$f\square g$}(star)
        (star) edge[loop,thick] node {$e_G$}(star)

        ;
    \end{tikzpicture}
\end{center}