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\section{Kegel und Ko}
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\subsection{Kegel und Limiten}
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\begin{definition}{Diagramm\\}
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Ein Diagramm in einer Kategorie $\mathscr{C}$ ist ein Funktor\\
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$\mathcal{F}:I\mapsto\mathscr{C}$ von einer kleinen\footnote{Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Nicht kleine Kategorien werden hier nicht betrachtet.} Kategorie I. Ein Diagramm bettet also quasi eine kleine Kategorie
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in eine andere ein.
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\end{definition}
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\begin{definition}{Kegel\\}
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Ein Kegel über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein Objekt $K$ aus
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$\mathscr{C}$ und Morphismen $K\xrightarrow{f_i}\mathcal{F}(i)$ für alle $i\in\ob I$ sodass
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alle Diagramme kommutieren.
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\end{definition}
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\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
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\node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
|
|
\node [blue] (K) at (1.5,2) {$K$};
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\node (ul) at (-1, 3){};
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\node (lr) at (4, -1){};
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\node (C) at (-0.5, 2.5) {$\mathscr{C}$};
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\draw
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(K) edge[blue] (Fi)
|
|
(K) edge[blue] (Fj)
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(Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
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|
(Fi) edge[loop, out=90+45, in=180, looseness=3] (Fi)
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|
(Fj) edge[loop, out=90-45, in=0, looseness=3] (Fj)
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(ul) rectangle (lr);
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;
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\end{tikzpicture}\\
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\begin{tikzpicture}
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\node (i) at (0,0) {$i$};
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\node (j) at (3,0){$j$};
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\node (ul) at (-1,1.5){};
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\node (lr) at (4,-1){};
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\node (I) at (-0.5, 1){$I$};
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\draw
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(i) edge node[below]{$f$} (j)
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(i) edge[loop, out=90, in=180, looseness=4] (i)
|
|
(j) edge[loop, out=90, in=0, looseness=4] (j)
|
|
(ul) rectangle (lr)
|
|
;
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|
\end{tikzpicture}
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\caption{Eine Kategorie $\mathscr{C}$ und eine Kleine Kategorie $I$, die vom Diagramm
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$\mathcal{F}$ in $\mathscr{C}$ abgebildet wird. Außerdem der Kegel $K$ in blau. }
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\end{figure}
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\end{center}
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$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.
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\begin{definition}{Limes\\}
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Ein Limes über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein universeller Kegel L:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
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\node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
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\node [red] (L) at (1.5,1.5) {$L$};
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|
\node [blue] (K) at (1.5,3) {$K$};
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\draw
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(L) edge[red] node[left]{$g_i$} (Fi)
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|
(L) edge[red] node[right]{$g_j$} (Fj)
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(K) edge[blue, bend right] node[left]{$f_i$} (Fi)
|
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(K) edge[blue, bend left] node[right]{$f_j$} (Fj)
|
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(K) edge[dotted] (L)
|
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(Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
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;
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\end{tikzpicture}\\
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\end{center}
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Ein Kegel, sodass für jeden Kegel $K$ über $\mathcal{F}$ ein eindeutiger
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Morphismus $K\mapsto L$ existiert, sodass $f_i=g_i\circ (K\mapsto L)$.
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Der Limes ist hier rot dargestellt und der Beispielkegel blau.
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\end{definition}
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Nachdem nun definiert wurde was Diagramme, Kegel und Limiten sind, sollen nun einige Beispiele
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angeführt werden, wie eben solche Kegel und Limiten über bestimmten Kategorien
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aussehen können.
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\begin{example}{Leere Kategorie\\}
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Es sei $I$ die leere Kategorie. Also $\ob I=\varnothing=\mor{I}{\cdot}{\cdot}$.\\
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\begin{itemize}
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\item Allgemein: $lim(I) =$ terminales Objekt
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\item Für $\cat{set}:\text{Kegel}_I =\ob\cat{set}$ und $lim(I)=\{*\}$
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\item Für $\cat{grp}=\{e\}$
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\item Für $\cat{K-VR}=\{0\}$
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\end{itemize}
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Dieses Beispiel ist relativ uninteressant, da $I$ keine Objekte enthält und somit
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die Anforderungen um Kegel bzw. Limiten zu finden nicht besonders hoch sind.
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\end{example}
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\newpage
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\begin{example}{Einelementige Kategorie\\}
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Sei $I=$
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\begin{tikzpicture}[baseline=2mm]
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\node (i) at (0,0) {i};
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\draw
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(i) edge[loop, looseness=5] (i)
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|
;
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|
\end{tikzpicture}
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die Kategorie mit einem Element und dem Identitätsmorphismus. Betrachten
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wir nun allgemein eine Kategorie $\mathscr{C}$ und ein Diagramm $\mathcal{F}: \mathscr{C}\mapsto I$.
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Dann gilt $\text{Kegel}_{\mathscr{C}}(I)=$
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\begin{tikzpicture}[baseline=4mm]
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\node (1)[blue] at (0,1) {$\cdot$};
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|
\node (2) at (0,0) {$\cdot$};
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|
\draw
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(1) edge[blue] (2)
|
|
;
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|
\draw[decorate,decoration={brace}] (1.north east) -- (2.south east);
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|
\draw[decorate,decoration={brace, mirror}] (1.north west) -- (2.south west);
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|
\end{tikzpicture}
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|
$=$Alle Objekte in $\mathscr{C}$, die einen Morphismus nach $\mathcal{F}(i)$ haben.\\
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$\text{lim}(\mathcal{F})=\mathcal{F}(i)$:\\
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\begin{center}
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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|
\centering
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
|
|
\node (L)[red] at (0,2){$\cdot$};
|
|
\node (K)[blue] at (1,1){$\cdot$};
|
|
|
|
\draw
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|
(L) edge[red] (Fi)
|
|
(K) edge[dotted] (L)
|
|
(K) edge[blue] (Fi)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\caption{Ein allgemeines Diagramm für Kegel (blau) und Limes (rot) über dieser Kategorie}
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|
\end{minipage}
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|
\hspace{10mm}
|
|
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
|
|
\node (L)[red] at (0,2){$\mathcal{F}(i)$};
|
|
\node (K)[blue] at (2,2){$\cdot$};
|
|
|
|
\draw
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|
(L) edge[red] (Fi)
|
|
(K) edge[dotted] (L)
|
|
(K) edge[blue] (Fi)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\caption{Das selbe Diagramm erhält man, wenn man $\text{lim }\mathcal{F}=\mathcal{F}(i)$ setzt.}
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|
\end{minipage}
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|
\end{figure}
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|
\end{center}
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|
\end{example}
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\begin{example}{Kategorie mit zwei Objekten\\}
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Es sei I=
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\begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
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\node(A) at (0,0){$\cdot$};
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|
\node(B) at (0.5,0){$\cdot$};
|
|
\node (center) at (0.25, 0){};
|
|
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|
\draw (center) ellipse (0.5 and 0.25);
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|
\end{tikzpicture}
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eine kleine Kategorie. Dann suchen wir einen Limes $L$, sodass für alle Kegel
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folgendes Diagramm kommutiert:\\
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node (Fi) at (0,0) {$\cdot$};
|
|
\node (Fj) at (3,0) {$\cdot$};
|
|
\node [red] (L) at (1.5,1.5) {$L$};
|
|
\node [blue] (K) at (1.5,3) {$K$};
|
|
|
|
\draw
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|
(L) edge[red] (Fi)
|
|
(L) edge[red] (Fj)
|
|
(K) edge[blue, bend right] (Fi)
|
|
(K) edge[blue, bend left] (Fj)
|
|
(K) edge[dotted] (L)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Für \cat{set}:\\
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|
gegeben $M,N$. Dann ist $\text{lim}\left(
|
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\begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
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|
\node(A) at (0,0){$\cdot$};
|
|
\node(B) at (0.5,0){$\cdot$};
|
|
\node (center) at (0.25, 0){};
|
|
|
|
\draw (center) ellipse (0.5 and 0.25);
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\right):=$ Produkt.\\
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|
\begin{center}
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|
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (M) at (0,0) {$M$};
|
|
\node (N) at (3,0) {$N$};
|
|
\node [red] (L) at (1.5,1.5) {$M\times N$};
|
|
\node [blue] (K) at (1.5,3) {$T$};
|
|
|
|
\draw
|
|
(L) edge[red] node[left]{$\Pi_M$} (Fi)
|
|
(L) edge[red] node[right]{$\Pi_N$} (Fj)
|
|
(K) edge[blue, bend right] node[left]{$f_M$} (M)
|
|
(K) edge[blue, bend left] node[right]{$f_N$} (N)
|
|
(K) edge[dotted] (L)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
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|
Wobei T hier ein Testobjekt aus \cat{set}, $\Pi_M((m,n))=m$ und der Morphismus $T\mapsto M\times N$
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definiert ist als $t\mapsto (f_M(t),f_N(t))$. Analog funktionieren die Limiten für \cat{Grp} und \cat{K-VR}.
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|
\end{example}
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\begin{lemma}{Limiten sind eindeutig bis auf eindeutige Isomorphismen.\\}
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|
Sei $D:\mathcal{I}\mapsto\mathscr{C}$ ein Diagramm, $(L,f_*),(\tilde{L},\tilde{f_*})$ Limiten über $D$.
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|
\begin{center}
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|
\begin{figure}[h]
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|
\centering
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\node (L1) at (0,3) {$L$};
|
|
\node (L2) at (3,3) {$\tilde{L}$};
|
|
\node (P1) at (0,0) {};
|
|
\node (P2) at (1.5,0) {};
|
|
\node (P3) at (3,0) {};
|
|
|
|
\draw
|
|
(L1) edge[dotted] (P1)
|
|
(L1) edge node[left]{$f_i$} (P2)
|
|
(L2) edge node[right]{$\tilde{f_i}$} (P2)
|
|
(L2) edge[dotted] (P3)
|
|
(L1) edge[dotted, bend right] node[below]{$\tilde{\varphi}$}(L2)
|
|
(L2) edge[dotted, bend right] node[above]{$\varphi$} (L1)
|
|
;
|
|
\draw (P2) ellipse (2 and 0.5);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Zwei Limiten über einem Diagramm und zugehörige Morphismen}
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|
\end{figure}
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|
\end{center}
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|
$L$ Limes $\Rightarrow$ Es existiert ein $\varphi:\tilde{L}\mapsto L$ mit
|
|
$f_i\circ\varphi=\tilde{f_i}$ für alle $i\in I$.\\
|
|
$\tilde{L}$ Limes $\Rightarrow$ Es existiert ein $\tilde{\varphi}: L\mapsto\tilde{L}$ mit
|
|
$\tilde{f_i}\circ\tilde{\varphi}=f_i$\\
|
|
\textbf{Beh}: $\varphi=\tilde{\varphi}^{-1}$\\
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (L1) at (0,2) {$L$};
|
|
\node (L2) at (2,2) {$L$};
|
|
\node (P1) at (0,0) {};
|
|
\node (P2) at (2,0) {};
|
|
\node (center) at (1,0){};
|
|
|
|
\draw
|
|
(L1) edge node[right]{$f_i$} (P1)
|
|
(L2) edge (P1)
|
|
(L1) edge (P2)
|
|
(L2) edge node[left]{$f_i$} (P2)
|
|
(L2) edge node[above]{$\varphi\circ\tilde{\varphi}$}(L1)
|
|
;
|
|
\draw (center) ellipse (2 and 0.5);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
$f_i\circ (\varphi\circ\tilde{\varphi})=\tilde{f_i}\circ\tilde{\varphi}=f_i$
|
|
Also $f_i\circ(id_L)=f_i$\\
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|
$\Rightarrow\varphi\circ\tilde{\varphi}=id_L$\\
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|
Analog: $\tilde{\varphi}\circ\varphi=id_{\tilde{L}}$
|
|
\qed
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|
\end{lemma}
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\subsection{Kokegel und Kolimes}
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|
\begin{definition}{Kokegel \& Kolimes\\}
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|
Sei $D:I\mapsto\mathscr{C}$ ein Diagramm.\\
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|
Kokegel:
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|
\begin{tikzpicture}[baseline=5mm]
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|
\node[blue] (K) at (0, 0){$K_{co}$};
|
|
\node (P1) at (-1, 1){$\cdot$};
|
|
\node (P2) at (1, 1){$\cdot$};
|
|
\node (center) at (0,1){};
|
|
|
|
\draw
|
|
(P1) edge (P2)
|
|
(P1) edge[blue] (K)
|
|
(P2) edge[blue] (K)
|
|
;
|
|
\draw (center) ellipse (1.25 and 0.25);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
Ein Objekt $K$ aus $\mathscr{C}$, sodass von jedem Objekt aus $\mathscr{C}$
|
|
Morphismen auf $K$ existieren und alle Dreiecke kommutieren.\\
|
|
Ein Kolimes ist ein universeller Kokegel:\\
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node[red] (L) at (0, 0){$L_{co}$};
|
|
\node (P1) at (-2, 2){$\cdot$};
|
|
\node (P2) at (2, 2){$\cdot$};
|
|
\node (center) at (0,2){};
|
|
\node[blue] (K) at (0, -1.5){$K_{co}$};
|
|
|
|
\draw
|
|
(P1) edge (P2)
|
|
(P1) edge[red] (L)
|
|
(P2) edge[red] (L)
|
|
(P1) edge[blue, bend right] (K)
|
|
(P2) edge[blue, bend left] (K)
|
|
(L) edge[dotted] (K)
|
|
;
|
|
\draw (center) ellipse (3 and 0.5);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Ein Kokegel, sodass auf jeden anderen Kokegel ein Morphismus existiert und alle
|
|
Dreiecke kommutieren.
|
|
\end{definition}
|
|
\begin{example}{Kolimiten für $I=\varnothing$\\}
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (center) at (0, 2){};
|
|
\node[red] (L) at (0,1){$L_{co}$};
|
|
\node[blue] (K) at (0,0){$K_{co}$};
|
|
\draw
|
|
(L) edge[dotted] (K)
|
|
(center) ellipse (1 and 0.25)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\caption{Die leere Kategorie als Bild des Diagramms und wie der zu findende
|
|
Kolimes im Verhältnis zu dieser stehen muss.}
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|
\end{figure}\\
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Diesen Kolimes nennt man allgemein auch \textit{Initiales Objekt}. Folgende Objekte sind initiale Objekte der jeweiligen Kategorie:
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|
\begin{itemize}
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|
\item \cat{set} $\varnothing$
|
|
\item \cat{Grp} $\{e\}$
|
|
\item \cat{K-VR} $\{0\}$
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|
\item \cat{Top} $\varnothing$
|
|
\item \cat{R1ng} $\mathbb{Z}$
|
|
\end{itemize}
|
|
Dies lässt sich leicht verifizieren, indem man prüft, dass die jeweiligen initialen Objekte die Kolimeseigenschaften der respektiven Kategorie erfüllen.
|
|
\end{example}
|
|
\begin{example}
|
|
{$I=$
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
|
|
\node (P1) at (0,0){$\cdot$};
|
|
\node (P2) at (0.5,0){$\cdot$};
|
|
\node (center) at (0.25,0){};
|
|
\draw (center) ellipse (0.5 and 0.25);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\\}
|
|
Für dieses $I$ sind die Kolimiten die \textit{Koprodukte}.\\
|
|
\underline{Beispiel \cat{Set}:}\\
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (L) at (0,0){$M\dot{\cup} N$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{example} |