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\section{Grundlagen}
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Oft betrachtet man in der Kategorientheorie Kategorien und sogenannte Funktoren, die quasi als Abbildungen zwischen Kategorien aufgefasst werden können.
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\subsection{Kategorien}
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Zunächst müssen wir definieren was eine Kategorie ist:
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\begin{definition}[Kategorie]
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Eine Kategorie $\mathscr{C}$ ist:
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\begin{itemize}
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\item eine Klasse von Objekten $\ob\mathscr{C}$
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\item für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ eine Menge $\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ eine Menge
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von Morphismen zwischen den Objekten
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\item für $A,B,C\in\ob\mathscr{C}$ eine Abbildung $\circ: \mor{\mathscr{C}}{B}{C}\times\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{A}{C}$ also
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Verkettung von Morphismen
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\item Assoziativität der Morphismen bezüglich $\circ$ % TODO:Definition
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\item Für jedes $A\in\ob\mathscr{C}$ ein $id_A\in\mor{\mathscr{C}}{A}{A}$ mit
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$id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$
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\end{itemize}
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\end{definition}
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Diese Definition ist bewusst recht allgemein gehalten um viele verschiedene Kategorien zu erlauben.
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Die Morphismen müssen dabei nicht unbedingt Abbildungen sein, sondern lediglich die oben genannte Definition erfüllen.
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Eine Klasse kann hier für alle Zwecke als Menge betrachtet werden.\\
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Die folgenden Beispiele erfüllen alle oben genannten Axiome und sind daher Kategorien:
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\begin{example}[\cat{Grp}]
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Ist die Kategorie der Gruppen
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\begin{itemize}
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\item $\ob\cat{Grp}=$ alle Gruppen
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\item $\mor{\cat{Grp}}{G}{H}=$ Gruppenhompmorphismen von $G$ nach $H$
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\item $\circ:$ Komposition von Gruppenhomomorphismen
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\end{itemize}
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Das ist wohldefiniert und \cat{Grp} ist eine Kategorie.
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\end{example}
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\begin{example}{Mehr Beispiele\\}
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\begin{itemize}
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\item \cat{$\mathbb{K}$-VR} die Kategorie der $\mathbb{K}$-Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen
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\item \cat{Ringe} Die Kategorie der Ringe und Ringhomomorphismen
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\item \cat{Körper} Die Kategorie der Körper und Körperhomomorphismen
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\item \cat{Set} Die Kategorie der Mengen und aller Abbildungen
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\item \cat{Ab} Abelsche Gruppen und Gruppenhomomorphismen
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\item \cat{Top} Topologische Räume und stetige Abbildungen
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\item \cat{MRäume} Metrische Räume
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\item \cat{Euklid} Euklidische Vektorräume und Subisometrien
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\item \cat{Set$^*$} Kategorie der punktierten Mengen ($(M,m)$, $M$ Menge, $m\in M$ $(M,m)\xmapsto{f}(N,n)$ Abbildung mit $f(m)=n$)
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\end{itemize}
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\end{example}
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\begin{example}{Eine Kategorie in der die Morphismen keine Abbildungen sind\\}
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Sei $(G,\square)$ eine Gruppe. $\cat{G}$ ist definiert als:
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\begin{itemize}
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\item $\ob G :=\{*\}$
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\item $\mor{\cat{G}}{*}{*}=G$
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\item für $f,g\in\mor{\cat{G}}{*}{*}$ definiere $f\circ g:=f\square g$
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\item $id_*=e_G$
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\end{itemize}
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Die Morphismen von \cat{G} sind hier also keine Abbildungen, sondern die Elemente der Gruppe.
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\end{example}
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Oft werden Kategorien mit Hilfe von Graphen dargestellt.
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Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher folgendermaßen dargestellt:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node[circle,draw](star){$*$};
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\path
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(star) edge[out=321 , in=39 , loop] node[right] {f} (star)
|
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(star) edge[out=51 , in=129 , loop] node[above] {g} (star)
|
|
(star) edge[out=141 , in=219 , loop] node[left] {$f\square g$} (star)
|
|
(star) edge[out=231 , in=309 , loop] node[below] {$e_G$} (star)
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|
;
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|
\end{tikzpicture}
|
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\end{center}
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\begin{example}{Kategorie aus einer partiell geordneten Menge\\}
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\label{ex:poset}
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Sei $(P,\le)$ eine partiell geordnete Menge ($\le$ ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation).
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$\cat{P}$ ist definiert als:
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\begin{itemize}
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\item $\ob\cat{P}:=P$
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\item für $x,y\in P$ definiere $\mor{\cat{P}}{x}{y}=
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\begin{cases}
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|
\{*_{xy}\} & x\le y \\
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|
\varnothing & x\nleq y
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\end{cases}
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|
$
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\item Sei $f\in\mor{\cat{P}}{x}{y}, g\in\mor{\cat{P}}{y}{z}$ (also $x=*_{xy}$ und $g=*_{yz}$)
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dann $*_{yz}\circ *_{xy}=*_{xz}$
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\item $id_x=*_{xx}$
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\end{itemize}
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Diese Kategorie sähe als Graph folgendermaßen aus:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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|
\node(1) at (1,0){$\cdot$};
|
|
\node(2) at (2,0){$\cdot$};
|
|
\node(3) at (3,0){$\cdot$};
|
|
\node(4) at (4,0){$\cdot$};
|
|
\node(5) at (5,0){$\dots$};
|
|
|
|
|
|
\path
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|
(1) edge (2)
|
|
(2) edge (3)
|
|
(3) edge (4)
|
|
(4) edge (5)
|
|
;
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|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
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|
Die Identitätsmorphismen und und Kompositionen der Morphismen werden im Graphen der Übersichtlichkeit halber nicht gezeichnet.
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\end{example}
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\begin{definition}{Isomorphismus\\}
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$f\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ heißt Isomorphismus wenn es $g\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}$ existiert
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mit $f\circ g=id_B$ und $g\circ f=id_A$
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\end{definition}
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Man kann leicht sehen, dass es in Beispiel \ref{ex:poset} keine nicht trivialen Isomorphismen geben kann.
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Dazu wäre es nötig, dass Morphismen der From $*_{yx}$ und $*_{xy}$ existieren. Dazu wäre es aber
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nötig, dass $x\le y$ und $y\le x$ gilt. Daraus folgt, dass $x=y$ gilt und somit der einzige Isomorphismus die Identität ist.
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\subsection{Funktoren}
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Es ist uns bereits Möglich Morphismen innerhalb von Kategorien zu definieren. Um auch zwischen Kategorien abbilden
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zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
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\begin{definition}{Funktor (Kovariant)\\}
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Seien $\mathscr{C},\mathscr{D}$ Kategorien. Ein Funktor $\mathcal{F}$ von $\mathscr{C}$ nach
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$\mathscr{D}$ ist eine Zuordnung
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\begin{itemize}
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\item $\ob\mathscr{C}\mapsto\ob\mathscr{D}$ $(A\in\ob\mathscr{C}\mapsto\mathcal{F}(A))$
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|
\item und eine Zuordnung für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ mit
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$\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(A)}{\mathcal{F}(B)}$
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sodass $\mathcal{F}(f\circ g)=\mathcal{F}(f)\circ\mathcal{F}(g)$
|
|
\end{itemize}
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|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=-15mm]
|
|
\node(A) at (0,0){$A$};
|
|
\node(C) at (0,-3){$C$};
|
|
\node(B) at (1,-1.5){$B$};
|
|
|
|
\path
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|
(A) edge node[left]{$f\circ g$} (C)
|
|
(A) edge node[above]{$f$} (B)
|
|
(B) edge node[right]{$g$} (C)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\hspace{5mm}
|
|
Wird vom Funktor abgebildet auf
|
|
\hspace{5mm}
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=-15mm]
|
|
\node(A) at (0,0){$\mathcal{F}(A)$};
|
|
\node(C) at (0,-3){$\mathcal{F}(C)$};
|
|
\node(B) at (1,-1.5){$\mathcal{F}(B)$};
|
|
|
|
\path
|
|
(A) edge node[left]{$\mathcal{F}(f\circ g)$} (C)
|
|
(A) edge node[right]{$\mathcal{F}(f)$} (B)
|
|
(B) edge node[right]{$\mathcal{F}(g)$} (C)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{definition}
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|
\begin{example}{Vergissfunktor\\}
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$?:\cat{K-Vec}\mapsto\cat{Set}$\\
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|
$(V,+,\cdot)\mapsto V$ bildet einen Vektorraum auf die Menge der Vektoren ab und vergisst dabei alle anderen Informationen
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wie z.B. über welchem Körper der Vektorraum definiert war und jegliche Operationen.
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|
\end{example}
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\begin{example}{Ein Endofunktor\\}
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Sei V ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. $\mathcal{F}:\cat{K-Vec}\mapsto\cat{K-Vec}$ mit $W\mapsto V\times W$. Funktoren mit gleicher Definitions und Bildkategorie nennt man Endofunktoren.
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|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node(W) at (0,0){$W$};
|
|
\node(X) at (0,-1.5){$X$};
|
|
|
|
\node(VW) at (3,0){$V\times W$};
|
|
\node(VX) at (3,-1.5){$V\times X$};
|
|
|
|
\node(FVW) at (4.5,0){$(v,w)$};
|
|
\node(FVX) at (4.5,-1.5){$(v,f(w))$};
|
|
|
|
\path
|
|
(W) edge node[left]{$f$} (X)
|
|
(VW) edge node[right]{$f\circ \mathcal{F}$} (VX)
|
|
(FVW) edge (FVX)
|
|
(W) edge node[above]{$\mathcal{F}$} (VW)
|
|
(X) edge node[above]{$\mathcal{F}\circ f$} (VX)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Also werden Objekte aus der Definitions- auf Objekte aus der Bildkategorie und Morphismen aus der Definitions- auf Morphismen
|
|
aus der Bildkategorie abgebildet. (Das Diagramm muss nicht unbedingt kommutieren)\\
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|
Bleibt noch zu zeigen, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node(W1) at (0,0){$W_1$};
|
|
\node(W2) at (2, 0){$W_2$};
|
|
\node(W3) at (4,0){$W_3$};
|
|
|
|
\path
|
|
(W1) edge node[above]{$f$} (W2)
|
|
(W2) edge node[above]{$g$} (W3)
|
|
(W1) edge[bend right=20] node[below]{$g\circ f$} (W3);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Also:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
|
|
\node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
|
|
\node(vw) at (0,-1){$(v,w)$};
|
|
\node(vw3) at (4,-1){$(v,(g\circ f)(w))$};
|
|
\node(Func) at (6.5,-1){$\mathcal{F}(g\circ f)$};
|
|
|
|
\path
|
|
(VW1) edge (VW3)
|
|
(vw) edge (vw3)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
und
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node(VW1) at (0,0){$V\times W_1$};
|
|
\node(VW2) at (2,0){$V\times W_2$};
|
|
\node(VW3) at (4, 0){$V\times W_3$};
|
|
\node(vw1) at (0,-1){$(v,w)$};
|
|
\node(vw2) at (2,-1){$(v,f(w)$};
|
|
\node(vw3) at (4,-1){$(v,g(f(w))$};
|
|
\node(Func) at (6.5,-1){$\mathcal{F}(g)\circ \mathcal{F}(f)$};
|
|
|
|
\path
|
|
(VW1) edge (VW2)
|
|
(VW2) edge (VW3)
|
|
|
|
(vw1) edge (vw2)
|
|
(vw2) edge (vw3)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Man sieht also, dass $\mathcal{F}(g\circ f)=\mathcal{F}(g)\circ\mathcal{F}(f)$ gilt.
|
|
Damit ist $\mathcal{F}$ ein Funktor.
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|
\end{example}
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\begin{example}{Der Hom-Funktor (Kovariant)\\}
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|
Es sei $\mathscr{C}$ eine Kategorie, $X\in\ob\mathscr{C}$\\
|
|
Definiere den Funktor $\mor{\mathscr{C}}{X}{\_}: \mathscr{C}\mapsto\cat{Set}$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $Y\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$\\
|
|
Ein $Y\in\mathscr{C}$ wird also auf die Morphismenmenge $\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$, die Morphismen, die in $\mathscr{C}$ von X auf Y existieren, abgebildet.
|
|
\item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto f^*=\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
|
|
\left[
|
|
\begin{aligned}
|
|
\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{Z} \\
|
|
[g:X\mapsto Y]\mapsto[f\circ g:X\mapsto Z]
|
|
\end{aligned}
|
|
\right]
|
|
$\\
|
|
Gehen wir also von beliebigen $X,Y\in\mathscr{C}$ aus, zwischen denen ein Morphismus $f$ existiert, so werden diese vom Hom-Funktor auf die
|
|
Morphismenmengen $\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$ und $\mor{\mathscr{C}}{X}{Z}$ abgebildet. Das heißt, dass wir jetzt
|
|
noch definieren müssen, worauf die Morphismen $\mor{\mathscr{C}}{Y}{Z}$ abgebildet werden. Wir müssen also jeden Morphismus aus $\mor{\mathscr{C}}{Y}{Z}$ auf einen Morphismus $\mor{\cat{set}}{\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}}{\mor{\mathscr
|
|
{C}}{X}{Z}}$ abbilden. Dies geschieht, indem wir ihn einfach mit einem entsprechenden passenden Morphismus verknüpfen. Wir identifizieren also jeden Morphismus $g: X\mapsto Y$ mit seiner Verknüpfung mit $f: Y\mapsto Z$
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und erhalten so einen neuen Morphismus $f^*$, der die geforderten Bedingungen erfüllt.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{example}
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|
\begin{example}{$\cat{R1ng}\mapsto\cat{Grp}$\\}
|
|
$R\mapsto R^\times=\{r\in R|\exists s\in R:rs=1_R\}$\\
|
|
$
|
|
[R\xrightarrow{}S]\mapsto
|
|
\left[
|
|
\begin{aligned}
|
|
R^\times\xrightarrow{f^\times}S^\times \\
|
|
f^\times = f
|
|
\end{aligned}
|
|
\right]
|
|
$\\
|
|
Man schränkt den Ring also auf alle invertierbaren Ringelemente ein und
|
|
lässt nur noch die Abbildungen übrig, die ohnehin schon zwischen invertierbaren Elementen abgebildet haben.
|
|
\end{example}
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|
\begin{example}{$\cat{Set}\mapsto\cat{K-VR}$\\}
|
|
Definiere\\
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|
$M\mapsto \text{Abb}_0(M,\mathbb{K})=\{\text{Abb } M\mapsto\mathbb{K} \text{ fast überall } 0\}$ (Freier Vektorraum über M)\\
|
|
$\mathcal{F}(M):=\left\{\displaystyle\sum_{m\in M}\lambda_m\cdot m|\lambda_m=0\text{ ffa } m\in M, \lambda_m\in\mathbb{K}\right\}$\\
|
|
\begin{center}%TDOD: Fix tikz picture
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node(M) at (0,0){$M$};
|
|
\node(N) at (0,-2){$N$};
|
|
\node(FM) at (2,0){$\mathcal{F}(M)$};
|
|
\node(FN) at (2,-2){$\mathcal{F}(N)$};
|
|
\node(Fg) at (4,0){$\sum\lambda_m\cdot m$};
|
|
\node(FFg) at (4,-2){$\sum\lambda_m\cdot f(m)$};
|
|
|
|
\path
|
|
(M) edge node[right]{f} (N)
|
|
(FM) edge (FN)
|
|
(Fg) edge (FFg)
|
|
;
|
|
\draw[decorate,decoration={brace, mirror}] (M.north west) -- (N.south west);
|
|
\draw[decorate,decoration={brace}] (M.north east) -- (N.south east);
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{example}
|
|
\begin{example}{$\cat{Grp}\mapsto\cat{Ab}$ (Abelisierung)\\}
|
|
$G\mapsto G^{ab}=G_{/H}$ mit $H=\langle\langle\{h_1h_2h_1^{-1}h_2^{-1}|h_1,h_2\in G\}\rangle\rangle$
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (G1) at (0,0){$G_1$};
|
|
\node (G2) at (0, -2){$G_2$};
|
|
\node (G1ab) at (2,0){$G_1^{ab}$};
|
|
\node (G2ab) at (2,-2){$G_2^{ab}$};
|
|
|
|
\path
|
|
(G1) edge node[right](Lphi){$\phi$} (G2)
|
|
(G1ab) edge node[left](Rphi){} node[right]{$\phi$} (G2ab)
|
|
(Lphi) edge (Rphi)%TODO: make this edge a mapsto
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{example}
|
|
\begin{example}{Graphen\\}
|
|
Definiere $\cat{Grph}$ exemplarisch als folgende Kategorie:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (E) at (0,0){E $\cdot$};
|
|
\node (V) at (3,0){$\cdot$ V};
|
|
|
|
\path
|
|
(E) edge node[above]{$s,t,u,\dots$} (V)
|
|
(E) edge[loop] (E)
|
|
(V) edge[loop] (V)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Dann gibt es Funktoren $\mathcal{F}: \cat{Grph}\mapsto\cat{Set}$ mit
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (E) at (0,0){$\mathcal{F}(E)$ $\cdot$};
|
|
\node (V) at (6,0){$\cdot$ $\mathcal{F}(V)$};
|
|
|
|
\path
|
|
(E) edge node[above]{$\mathcal{F}(s),\mathcal{F}(t),\mathcal{F}(u),\dots$} (V)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Diese Funktoren bilden Graphen auf ihre Knoten- und Kantenmengendarstellung ab.
|
|
\end{example}
|
|
\begin{example}{Der Hom-Funktor (Kontravariant)\\}
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|
Es sei $\mathscr{C}$ eine Kategorie, $X\in\ob\mathscr{C}$\\
|
|
Definiere den Funktor $\mor{\mathscr{C}}{\_}{X}: \mathscr{C}\mapsto\cat{Set}$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $Y\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$\\
|
|
Ein $Y\in\mathscr{C}$ wird also auf die Morphismenmenge $\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$, die Morphismen, die in $\mathscr{C}$ von Y auf X existieren, abgebildet.
|
|
\item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto f^* =\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
|
|
\left[
|
|
\begin{aligned}
|
|
\mor{\mathscr{C}}{Z}{X}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X} \\
|
|
[g:Z\mapsto X]\mapsto[g\circ f:Y\mapsto X]
|
|
\end{aligned}
|
|
\right]
|
|
$\\
|
|
Der Funktor agiert analog zu seinem Kovarianten Gegenstück.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{example}
|
|
\begin{example}{Punktierung von Mengen\\}
|
|
Definitions und Bildkategorie: $\cat{Set}\mapsto\cat{Set}^*$\\
|
|
Objekte: $M\mapsto(M\cup \{\star_m\}, \star_M)$\\
|
|
Morphismen:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
|
|
\node (M) at (0,0){$M$};
|
|
\node (N) at (0,-2){$N$};
|
|
|
|
\path
|
|
(M) edge node[left]{$f$} (N)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
$\mapsto$
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=-10mm]
|
|
\node (M) at (0,0){$M\cup\{\star_M\}$};
|
|
\node (N) at (0,-2){$N\cup\{\star_N\}$};
|
|
|
|
\path
|
|
(M) edge node[right]{$f\cup id_\star:m\mapsto f(m) \text{ und } \star_M\mapsto\star_N$} (N)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Man fügt als ein Element hinzu, das jetzt das punktierte Element ist und definiert die Morphismen so dass sie auf die
|
|
Elemente der punktierten Menge wie vorher angewandt werden und das punktierte Element in M auf das punktierte Element in N abgebildet wird.
|
|
\end{example}
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|
\begin{definition}{Opposite Kategorien\\}
|
|
Sei $\mathscr{C}$ eine Kategorie. Definiere $\mathscr{C}^{op}$ wie folgt:\\
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\ob\mathscr{C}^{op}:=\ob \mathscr{C}$
|
|
\item Für $A,B\in\ob\mathscr{C^{op}}$ definiere $\mor{\mathscr{C}^{op}}{A}{B}:=\mor{\mathscr{C}}{B}{A}$
|
|
\end{itemize}
|
|
Wir drehen also alle \glqq Morphismenpfeile'' um und nutzen die gleichen Objekte.\\
|
|
\end{definition}
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Man sieht, dass ein kontravarianter Funktor $\mathscr{C}\mapsto\mathscr{D}$ einem kovarianten Funktor $\mathscr{C}^{op}\mapsto\mathscr{D}^{op}$ entspricht. |