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\section{Kegel und Ko}
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\subsection{Nötige Definitionen}
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\begin{definition}{Diagramm\\}
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Ein Diagramm in einer Kategorie $\mathscr{C}$ ist ein Funktor\\
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$\mathcal{F}:I\mapsto\mathscr{C}$ von einer kleinen\footnote{Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Nicht kleine Kategorien werden hier nicht betrachtet.} Kategorie I. Ein Diagramm bettet also quasi eine kleine Kategorie
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in eine andere ein.
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\end{definition}
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\begin{definition}{Kegel\\}
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Ein Kegel über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein Objekt $K$ aus
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$\mathscr{C}$ und Morphismen $K\xrightarrow{f_i}\mathcal{F}(i)$ für alle $i\in\ob I$ sodass
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alle Diagramme kommutieren.
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\end{definition}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
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\node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
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\node [blue] (K) at (1.5,2) {$K$};
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\node (ul) at (-1, 3){};
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\node (lr) at (4, -1){};
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\node (C) at (-0.5, 2.5) {$\mathscr{C}$};
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\draw
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(K) edge[blue] (Fi)
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(K) edge[blue] (Fj)
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(Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
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(Fi) edge[loop, out=90+45, in=180, looseness=3] (Fi)
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(Fj) edge[loop, out=90-45, in=0, looseness=3] (Fj)
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(ul) rectangle (lr);
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;
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\end{tikzpicture}\\
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\node (i) at (0,0) {$i$};
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\node (j) at (3,0){$j$};
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\node (ul) at (-1,1.5){};
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\node (lr) at (4,-1){};
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\node (I) at (-0.5, 1){$I$};
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\draw
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(i) edge node[below]{$f$} (j)
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(i) edge[loop, out=90, in=180, looseness=4] (i)
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(j) edge[loop, out=90, in=0, looseness=4] (j)
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(ul) rectangle (lr)
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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$\mathcal{F}(f)\circ f_i=f_j$ für alle $f\in\mor{I}{i}{j}$.\\
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Der Kegel ist hier der blau markierte Teil. Das Diagramm ist der Funktor $\mathcal{F}$,
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der $I$ in $\mathscr{C}$ \glqq einbettet''.
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\begin{definition}{Limes\\}
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Ein Limes über einem Diagramm $\mathcal{F}$ ist ein universeller Kegel L:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
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\node (Fi) at (0,0) {$\mathcal{F}(i)$};
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\node (Fj) at (3,0) {$\mathcal{F}(j)$};
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\node [red] (L) at (1.5,1.5) {$L$};
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\node [blue] (K) at (1.5,3) {$K$};
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\draw
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(L) edge[red] node[left]{$g_i$} (Fi)
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(L) edge[red] node[right]{$g_j$} (Fj)
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(K) edge[blue, bend right] node[left]{$f_i$} (Fi)
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(K) edge[blue, bend left] node[right]{$f_j$} (Fj)
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(K) edge[dotted] (L)
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(Fi) edge node[below]{$\mathcal{F}(f)$} (Fj)
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;
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\end{tikzpicture}\\
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\end{center}
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Ein Kegel, sodass für jeden Kegel $K$ über $\mathcal{F}$ ein eindeutiger
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Morphismus $K\mapsto L$ existiert, sodass $f_i=g_i\circ (K\mapsto L)$.
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Der Limes ist hier rot dargestellt und der Beispielkegel blau.
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\end{definition} |