Limiten sind eindeutig

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@@ -206,4 +206,58 @@ aussehen können.
     \end{center}
     Wobei T hier ein Testobjekt aus \cat{set}, $\Pi_M((m,n))=m$ und der Morphismus $T\mapsto M\times N$
     definiert ist als $t\mapsto (f_M(t),f_N(t))$. Analog funktionieren die Limiten für \cat{Grp} und \cat{K-VR}.
-\end{example}
+\end{example}
+\begin{lemma}{Limiten sind eindeutig bis auf eindeutige Isomorphismen.\\}
+    Sei $D:\mathcal{I}\mapsto\mathscr{C}$ ein Diagramm, $(L,f_*),(\tilde{L},\tilde{f_*})$ Limiten über $D$.
+    \begin{center}
+        \begin{figure}[h]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \node (L1) at (0,3) {$L$};
+                \node (L2) at (3,3) {$\tilde{L}$};
+                \node (P1) at (0,0) {};
+                \node (P2) at (1.5,0) {};
+                \node (P3) at (3,0) {};
+
+                \draw
+                (L1) edge[dotted] (P1)
+                (L1) edge node[left]{$f_i$} (P2)
+                (L2) edge node[right]{$\tilde{f_i}$} (P2)
+                (L2) edge[dotted]  (P3)
+                (L1) edge[dotted, bend right] node[below]{$\tilde{\varphi}$}(L2)
+                (L2) edge[dotted, bend right] node[above]{$\varphi$} (L1)
+                ;
+                \draw (P2) ellipse (2 and 0.5);
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Zwei Limiten über einem Diagramm und zugehörige Morphismen}
+        \end{figure}
+    \end{center}
+    $L$ Limes $\Rightarrow$ Es existiert ein $\varphi:\tilde{L}\mapsto L$ mit
+    $f_i\circ\varphi=\tilde{f_i}$ für alle $i\in I$.\\
+    $\tilde{L}$ Limes $\Rightarrow$ Es existiert ein $\tilde{\varphi}: L\mapsto\tilde{L}$ mit
+    $\tilde{f_i}\circ\tilde{\varphi}=f_i$\\
+    \textbf{Beh}: $\varphi=\tilde{\varphi}^{-1}$\\
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \node (L1) at (0,2) {$L$};
+            \node (L2) at (2,2) {$L$};
+            \node (P1) at (0,0) {};
+            \node (P2) at (2,0) {};
+            \node (center) at (1,0){};
+
+            \draw
+            (L1) edge node[right]{$f_i$}  (P1)
+            (L2) edge (P1)
+            (L1) edge (P2)
+            (L2) edge node[left]{$f_i$} (P2)
+            (L2) edge node[above]{$\varphi\circ\tilde{\varphi}$}(L1)
+            ;
+            \draw (center) ellipse (2 and 0.5);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    $f_i\circ (\varphi\circ\tilde{\varphi})=\tilde{f_i}\circ\tilde{\varphi}=f_i$
+    Also $f_i\circ(id_L)=f_i$\\
+    $\Rightarrow\varphi\circ\tilde{\varphi}=id_L$\\
+    Analog: $\tilde{\varphi}\circ\varphi=id_{\tilde{L}}$
+    \qed
+\end{lemma}