Bidualabbildung

chapters/nat_trafo.tex

@@ -10,8 +10,8 @@
     \end{tikzcd} Funktoren.\\
     Eine natürliche Transformation (nat. Trafo.) $\eta$ von $\mathcal{F}$ nach
     $\mathcal{G}$ ist eine Sammlung von Morphismen wie folgt:\\
-    $\forall x\in\ob\mathscr{C}$ gilt $\mathcal{F}(x)\xrightarrow{\eta_x}\mathcal{G}(x)$\\
+    $\forall x\in\ob\mathscr{C}$ gilt $\mathcal{F}(x)\xrightarrow{\eta_x}\mathcal{G}(x)$, sodass\\
-    $x\mapsto\eta_x\in\mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(x)}{\mathcal{G}(x)}$. Folgendes Diagramm soll also kommutieren:\\
+    $\forall f\in\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$ gilt: $\mathcal{G}(f)\circ\eta_x=\eta_y\circ\mathcal{F}(f)$. Folgendes Diagramm soll also kommutieren:
     \begin{figure}[h]
         \begin{center}
             \begin{tikzcd}[sep=large]
@@ -26,3 +26,47 @@
         \caption{Das kommutative Diagramm für eine natürliche Transformation $\eta$.}
     \end{figure}
 \end{definition}
+\begin{example}{Bidualisierung\\}
+    Gegeben seien Die Funktoren:\\
+    $\mathbb{D}:\cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
+    $V\mapsto V^{*^*}$ und\\
+    $id: \cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
+    $V\mapsto V$\\
+    Wir zeigen, dass eine nat. Trafo. $id\xrightarrow{\eta}\mathbb{D}$ existiert.\\
+    Dazu definieren wir $\forall V\in\ob\cat{K-VR}:\eta_V:V\mapsto V^{*^*}$ mit $v\mapsto[\alpha\mapsto \alpha(v)]$.
+    Das folgende Diagramm muss außerdem kommutieren:\\
+    \begin{center}
+        \begin{tikzcd}[sep=large]
+            V \arrow[d, "\psi"'] \\ W
+        \end{tikzcd}
+        \hspace{20mm}
+        \begin{tikzcd}[sep=large]
+            V \arrow[r, "\eta_V"] \arrow[d, "\psi"]& V^{*^*} \arrow[d, "\psi^{*^*}"]\\
+            W \arrow[r, "\eta_W"] & W^{*^*}
+        \end{tikzcd}
+    \end{center}
+    Desweiteren gilt für die Dual- und Bidualabbildung: $W^*\xrightarrow{f^*}V^*:\alpha\mapsto\alpha\circ f$ und $V^{*^*}\xrightarrow{f^{*^*}}W^{*^*}:\alpha\mapsto\alpha\circ f^*$\\
+    Bleibt noch die Kommutativität des oben genannten Diagramms zu zeigen:\\
+    Sei $v\in V$ und $\alpha\in W^*$.\\
+    \underline{Behauptung:}
+    \begin{flalign*}
+         & [(\psi^{*^*}\circ\eta_V)(v)](\alpha) \\
+         & =[(\eta_W\circ\psi)(v)](\alpha)
+    \end{flalign*}
+    \underline{Beweis:}\\
+    \begin{flalign*}
+         & (\psi^{*^*}(\eta_V(v)))(\alpha) \\
+         & =(\eta_V(v)\circ\psi^*)(\alpha) \\
+         & =\eta_V(v)(\alpha\circ\psi)     \\
+         & =(\alpha\circ\psi)(v)
+    \end{flalign*}
+    und
+    \begin{flalign*}
+         & ((\eta_W\circ\psi)(v))(\alpha) \\
+         & = (\eta_W(\psi(v)))(\alpha)    \\
+         & =\alpha(\psi(v))               \\
+         & =(\alpha\circ\psi)(v)
+    \end{flalign*}
+    $\implies$ Beh.\qed
+
+\end{example}