72 lines
No EOL
2.9 KiB
TeX
72 lines
No EOL
2.9 KiB
TeX
\section{Natürliche Transformationen}
|
|
\begin{definition}{Natürliche Transformation\\}
|
|
Seien
|
|
\begin{tikzcd}
|
|
\mathscr{C}
|
|
\arrow[shift left, "\mathcal{F}"]{r}
|
|
\arrow[shift right, "\mathcal{G}"']{r}
|
|
&
|
|
\mathscr{D}
|
|
\end{tikzcd} Funktoren.\\
|
|
Eine natürliche Transformation (nat. Trafo.) $\eta$ von $\mathcal{F}$ nach
|
|
$\mathcal{G}$ ist eine Sammlung von Morphismen wie folgt:\\
|
|
$\forall x\in\ob\mathscr{C}$ gilt $\mathcal{F}(x)\xrightarrow{\eta_x}\mathcal{G}(x)$, sodass\\
|
|
$\forall f\in\mor{\mathscr{C}}{X}{Y}$ gilt: $\mathcal{G}(f)\circ\eta_x=\eta_y\circ\mathcal{F}(f)$. Folgendes Diagramm soll also kommutieren:
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzcd}[sep=large]
|
|
X \arrow[d, "f"'] \\ Y
|
|
\end{tikzcd}
|
|
\hspace{20mm}
|
|
\begin{tikzcd}[sep=large]
|
|
\mathcal{F}(x) \arrow[r, "\eta_x"] \arrow[d, "\mathcal{F}(f)"]{}& \mathcal{G}(x) \arrow[d, "\mathcal{G}(f)"]\\
|
|
\mathcal{F}(y) \arrow[r, "\eta_y"] & \mathcal{G}(y)
|
|
\end{tikzcd}
|
|
\end{center}
|
|
\caption{Das kommutative Diagramm für eine natürliche Transformation $\eta$.}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{definition}
|
|
\begin{example}{Bidualisierung\\}
|
|
Gegeben seien Die Funktoren:\\
|
|
$\mathbb{D}:\cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
|
|
$V\mapsto V^{*^*}$ und\\
|
|
$id: \cat{K-VR}\mapsto\cat{K-VR}$\\
|
|
$V\mapsto V$\\
|
|
Wir zeigen, dass eine nat. Trafo. $id\xrightarrow{\eta}\mathbb{D}$ existiert.\\
|
|
Dazu definieren wir $\forall V\in\ob\cat{K-VR}:\eta_V:V\mapsto V^{*^*}$ mit $v\mapsto[\alpha\mapsto \alpha(v)]$.
|
|
Das folgende Diagramm muss außerdem kommutieren:\\
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzcd}[sep=large]
|
|
V \arrow[d, "\psi"'] \\ W
|
|
\end{tikzcd}
|
|
\hspace{20mm}
|
|
\begin{tikzcd}[sep=large]
|
|
V \arrow[r, "\eta_V"] \arrow[d, "\psi"]& V^{*^*} \arrow[d, "\psi^{*^*}"]\\
|
|
W \arrow[r, "\eta_W"] & W^{*^*}
|
|
\end{tikzcd}
|
|
\end{center}
|
|
Desweiteren gilt für die Dual- und Bidualabbildung: $W^*\xrightarrow{f^*}V^*:\alpha\mapsto\alpha\circ f$ und $V^{*^*}\xrightarrow{f^{*^*}}W^{*^*}:\alpha\mapsto\alpha\circ f^*$\\
|
|
Bleibt noch die Kommutativität des oben genannten Diagramms zu zeigen:\\
|
|
Sei $v\in V$ und $\alpha\in W^*$.\\
|
|
\underline{Behauptung:}
|
|
\begin{flalign*}
|
|
& [(\psi^{*^*}\circ\eta_V)(v)](\alpha) \\
|
|
& =[(\eta_W\circ\psi)(v)](\alpha)
|
|
\end{flalign*}
|
|
\underline{Beweis:}\\
|
|
\begin{flalign*}
|
|
& (\psi^{*^*}(\eta_V(v)))(\alpha) \\
|
|
& =(\eta_V(v)\circ\psi^*)(\alpha) \\
|
|
& =\eta_V(v)(\alpha\circ\psi) \\
|
|
& =(\alpha\circ\psi)(v)
|
|
\end{flalign*}
|
|
und
|
|
\begin{flalign*}
|
|
& ((\eta_W\circ\psi)(v))(\alpha) \\
|
|
& = (\eta_W(\psi(v)))(\alpha) \\
|
|
& =\alpha(\psi(v)) \\
|
|
& =(\alpha\circ\psi)(v)
|
|
\end{flalign*}
|
|
$\implies$ Beh.\qed
|
|
|
|
\end{example} |