Beispiel Kolimiten

chapters/Kegel_und_Ko.tex

@@ -261,12 +261,12 @@ aussehen können.
     Analog: $\tilde{\varphi}\circ\varphi=id_{\tilde{L}}$
     \qed
 \end{lemma}
-\subsection{Kokegel, Kolimes und Koprodukt}
+\subsection{Kokegel und Kolimes}
 \begin{definition}{Kokegel \& Kolimes\\}
     Sei $D:I\mapsto\mathscr{C}$ ein Diagramm.\\
     Kokegel:
     \begin{tikzpicture}[baseline=5mm]
-        \node[blue] (K) at (0, 0){$K$};
+        \node[blue] (K) at (0, 0){$K_{co}$};
         \node (P1) at (-1, 1){$\cdot$};
         \node (P2) at (1, 1){$\cdot$};
         \node (center) at (0,1){};
@@ -280,7 +280,69 @@ aussehen können.
     \end{tikzpicture}
     Ein Objekt $K$ aus $\mathscr{C}$, sodass von jedem Objekt aus $\mathscr{C}$
     Morphismen auf $K$ existieren und alle Dreiecke kommutieren.\\
-    Ein Kolimes ist ein universeller Kokegel:
-    
+    Ein Kolimes ist ein universeller Kokegel:\\
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \node[red] (L) at (0, 0){$L_{co}$};
+            \node (P1) at (-2, 2){$\cdot$};
+            \node (P2) at (2, 2){$\cdot$};
+            \node (center) at (0,2){};
+            \node[blue] (K) at (0, -1.5){$K_{co}$};
 
-\end{definition}
+            \draw
+            (P1) edge (P2)
+            (P1) edge[red] (L)
+            (P2) edge[red] (L)
+            (P1) edge[blue, bend right] (K)
+            (P2) edge[blue, bend left] (K)
+            (L) edge[dotted] (K)
+            ;
+            \draw (center) ellipse (3 and 0.5);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    Ein Kokegel, sodass auf jeden anderen Kokegel ein Morphismus existiert und alle
+    Dreiecke kommutieren.
+\end{definition}
+\begin{example}{Kolimiten für $I=\varnothing$\\}
+    \begin{figure}[h]
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \node (center) at (0, 2){};
+                \node[red] (L) at (0,1){$L_{co}$};
+                \node[blue] (K) at (0,0){$K_{co}$};
+                \draw
+                (L) edge[dotted] (K)
+                (center) ellipse (1 and 0.25)
+                ;
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+        \caption{Die leere Kategorie als Bild des Diagramms und wie der zu findende
+            Kolimes im Verhältnis zu dieser stehen muss.}
+    \end{figure}\\
+    Diesen Kolimes nennt man allgemein auch \textit{Initiales Objekt}. Folgende Objekte sind initiale Objekte der jeweiligen Kategorie:
+    \begin{itemize}
+        \item \cat{set} $\varnothing$
+        \item \cat{Grp} $\{e\}$
+        \item \cat{K-VR} $\{0\}$
+        \item \cat{Top} $\varnothing$
+        \item \cat{R1ng} $\mathbb{Z}$
+    \end{itemize}
+    Dies lässt sich leicht verifizieren, indem man prüft, dass die jeweiligen initialen Objekte die Kolimeseigenschaften der respektiven Kategorie erfüllen.
+\end{example}
+\begin{example}
+    {$I=$
+        \begin{tikzpicture}[baseline=-1mm]
+            \node (P1) at (0,0){$\cdot$};
+            \node (P2) at (0.5,0){$\cdot$};
+            \node (center) at (0.25,0){};
+            \draw (center) ellipse (0.5 and 0.25);
+        \end{tikzpicture}
+        \\}
+    Für dieses $I$ sind die Kolimiten die \textit{Koprodukte}.\\
+    \underline{Beispiel \cat{Set}:}\\
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \node (L) at (0,0){$M\dot{\cup} N$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{example}