clara/category-theory
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Packages Wiki Activity Actions

contravariant Hom and pointed sets

Browse source
This commit is contained in:
CDaut 2022-10-01 00:40:14 +02:00 • committed by CDaut
parent a765a7fc38
commit 54220ccac9
3 changed files with 48 additions and 5 deletions
Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

51
chapters/Grundlagen.tex
View file

@ -259,7 +259,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
\end{aligned}
\right]
$\\
Man schränkt den Ring also auf alle invertierbaren Ringelemente ein und
Man schränkt den Ring also auf alle invertierbaren Ringelemente ein und
lässt nur noch die Abbildungen übrig, die ohnehin schon zwischen invertierbaren Elementen abgebildet haben.
\end{example}
\begin{example}{$\cat{Set}\mapsto\cat{K-VR}$\\}
@ -282,7 +282,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
;
\draw[decorate,decoration={brace, mirror}] (M.north west) -- (N.south west);
\draw[decorate,decoration={brace}] (M.north east) -- (N.south east);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{example}
@ -309,7 +309,7 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node (E) at (0,0){E $\cdot$};
\node (V) at (3,0){$\cdot$ V};
\path
(E) edge node[above]{$s,t,u,\dots$} (V)
(E) edge[loop] (E)
@ -322,11 +322,54 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node (E) at (0,0){$\mathcal{F}(E)$ $\cdot$};
\node (V) at (6,0){$\cdot$ $\mathcal{F}(V)$};
\path
(E) edge node[above]{$\mathcal{F}(s),\mathcal{F}(t),\mathcal{F}(u),\dots$} (V)
;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Diese Funktoren bilden Graphen auf ihre Knoten- und Kantenmengendarstellung ab.
\end{example}
\begin{example}{Der Hom-Funktor (Kontravariant)\\}
Es sei $\mathscr{C}$ eine Kategorie, $X\in\ob\mathscr{C}$\\
Definiere den Funktor $\mor{\mathscr{C}}{\_}{X}: \mathscr{C}\mapsto\cat{Set}$
\begin{itemize}
\item $Y\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$\\
Ein $Y\in\mathscr{C}$ wird also auf die Morphismenmenge $\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$, die Morphismen, die in $\mathscr{C}$ von Y auf X existieren, abgebildet.
\item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
\left[
\begin{aligned}
\mor{\mathscr{C}}{Z}{X}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X} \\
[g:Z\mapsto X]\mapsto[g\circ f:Y\mapsto X]
\end{aligned}
\right]
$\\
Der Funktor bildet also jeden Morphismus $g$ von $Z$ nach $X$ auf die oben definierte Funktion ab.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{example}{Punktierung von Mengen\\}
Definitions und Bildkategorie: $\cat{Set}\mapsto\cat{Set}^*$\\
Objekte: $M\mapsto(M\cup \{\star_m\}, \star_M)$\\
Morphismen:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node (M) at (0,0){$M$};
\node (N) at (0,-2){$N$};
\path
(M) edge node[left]{$f$} (N)
;
\end{tikzpicture}
$\mapsto$%TODO: THis needs to go higher...
\begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
\node (M) at (0,0){$M\cup\{\star_M\}$};
\node (N) at (0,-2){$N\cup\{\star_N\}$};
\path
(M) edge node[right]{$f\cup id_\star:m\mapsto f(m) \text{ und } \star_M\mapsto\star_N$} (N)
;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Man fügt als ein Element hinzu, das jetzt das punktierte Element ist und definiert die Morphismen so dass sie auf die
Elemente der punktierten Menge wie vorher angewandt werden und das punktierte Element in M auf das punktierte Element in N abgebildet wird.
\end{example}

BIN
main.pdf
View file

Binary file not shown.

2
main.tex
View file

@ -16,7 +16,7 @@
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]
\newtheorem{example}{Beispiel}[section]
\newtheorem{example}{Beispiel}[subsection]
\newcommand{\ob}{\mathsf{ob}\text{ }}
\newcommand{\mor}[3]{\mathsf{Hom}_#1(#2,#3)}