contravariant Hom and pointed sets

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@@ -330,3 +330,46 @@ zu können und diese so in Relation zu setzen definieren wir Funktoren.
     \end{center}
     Diese Funktoren bilden Graphen auf ihre Knoten- und Kantenmengendarstellung ab.
 \end{example}
+\begin{example}{Der Hom-Funktor (Kontravariant)\\}
+    Es sei $\mathscr{C}$ eine Kategorie, $X\in\ob\mathscr{C}$\\
+    Definiere den Funktor $\mor{\mathscr{C}}{\_}{X}: \mathscr{C}\mapsto\cat{Set}$
+    \begin{itemize}
+        \item $Y\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$\\
+              Ein $Y\in\mathscr{C}$ wird also auf die Morphismenmenge $\mor{\mathscr{C}}{Y}{X}$, die Morphismen, die in $\mathscr{C}$ von Y auf X existieren, abgebildet.
+        \item $[Y\xrightarrow{f}Z]\mapsto\mor{\mathscr{C}}{X}{f}:=
+                  \left[
+                      \begin{aligned}
+                          \mor{\mathscr{C}}{Z}{X}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{Y}{X} \\
+                          [g:Z\mapsto X]\mapsto[g\circ f:Y\mapsto X]
+                      \end{aligned}
+                      \right]
+              $\\
+              Der Funktor bildet also jeden Morphismus $g$ von $Z$ nach $X$ auf die oben definierte Funktion ab.
+    \end{itemize}
+\end{example}
+\begin{example}{Punktierung von Mengen\\}
+    Definitions und Bildkategorie: $\cat{Set}\mapsto\cat{Set}^*$\\
+    Objekte: $M\mapsto(M\cup \{\star_m\}, \star_M)$\\
+    Morphismen:
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+            \node (M) at (0,0){$M$};
+            \node (N) at (0,-2){$N$};
+
+            \path
+            (M) edge node[left]{$f$} (N)
+            ;
+        \end{tikzpicture}
+        $\mapsto$%TODO: THis needs to go higher...
+        \begin{tikzpicture}[every edge/.style = {draw, -to}]
+            \node (M) at (0,0){$M\cup\{\star_M\}$};
+            \node (N) at (0,-2){$N\cup\{\star_N\}$};
+
+            \path
+            (M) edge node[right]{$f\cup id_\star:m\mapsto f(m) \text{ und } \star_M\mapsto\star_N$} (N)
+            ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    Man fügt als ein Element hinzu, das jetzt das punktierte Element ist und definiert die Morphismen so dass sie auf die
+    Elemente der punktierten Menge wie vorher angewandt werden und das punktierte Element in M auf das punktierte Element in N abgebildet wird.
+\end{example}

main.tex

@@ -16,7 +16,7 @@
 
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{definition}{Definition}[section]
-\newtheorem{example}{Beispiel}[section]
+\newtheorem{example}{Beispiel}[subsection]
 
 \newcommand{\ob}{\mathsf{ob}\text{ }}
 \newcommand{\mor}[3]{\mathsf{Hom}_#1(#2,#3)}