clara/category-theory
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CDaut 2022-09-27 14:06:35 +02:00 • committed by CDaut
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@ -7,12 +7,12 @@ Zunächst müssen wir definieren was eine Kategorie ist:
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item eine Klasse von Objekten $\ob\mathscr{C}$ \item eine Klasse von Objekten $\ob\mathscr{C}$
\item für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ eine Menge $\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ eine Menge \item für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ eine Menge $\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ eine Menge
von Morphismen zwischen den Objekten von Morphismen zwischen den Objekten
\item für $A,B,C\in\ob\mathscr{C}$ eine Abbildung $\circ: \mor{\mathscr{C}}{B}{C}\times\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{A}{C}$ also \item für $A,B,C\in\ob\mathscr{C}$ eine Abbildung $\circ: \mor{\mathscr{C}}{B}{C}\times\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{A}{C}$ also
Verkettung von Morphismen Verkettung von Morphismen
\item Assoziativität der Morphismen bezüglich $\circ$ % TODO:Definition \item Assoziativität der Morphismen bezüglich $\circ$ % TODO:Definition
\item Für jedes $A\in\ob\mathscr{C}$ ein $id_A\in\mor{\mathscr{C}}{A}{A}$ mit \item Für jedes $A\in\ob\mathscr{C}$ ein $id_A\in\mor{\mathscr{C}}{A}{A}$ mit
$id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ $id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$
\end{itemize} \end{itemize}
\end{definition} \end{definition}
Diese Definition ist bewusst recht allgemein gehalten um viele verschiedene Kategorien zu erlauben. Diese Definition ist bewusst recht allgemein gehalten um viele verschiedene Kategorien zu erlauben.
@ -41,3 +41,28 @@ Die folgenden Beispiele erfüllen alle oben genannten Axiome und sind daher Kate
\item \cat{Set$^*$} Kategorie der punktierten Mengen ($(M,m)$, $M$ Menge, $m\in M$ $(M,m)\xmapsto{f}(N,n)$ Abbildung mit $f(m)=n$) \item \cat{Set$^*$} Kategorie der punktierten Mengen ($(M,m)$, $M$ Menge, $m\in M$ $(M,m)\xmapsto{f}(N,n)$ Abbildung mit $f(m)=n$)
\end{itemize} \end{itemize}
\end{example} \end{example}
\begin{example}{Eine Kategorie in der die Morphismen keine Abbildungen sind\\}
Sei $(G,\square)$ eine Gruppe. $\cat{G}$ ist definiert als:
\begin{itemize}
\item $\ob G :=\{*\}$
\item $\mor{\cat{G}}{*}{*}=G$
\item für $f,g\in\mor{\cat{G}}{*}{*}$ definiere $f\circ g:=f\square g$
\item $id_*=e_G$
\end{itemize}
Die Morphismen von \cat{G} sind hier also keine Abbildungen, sondern die Elemente der Gruppe.
\end{example}
Oft werden Kategorien mit Hilfe von Graphen dargestellt.
Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher folgendermaßen dargestellt:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[circle,draw,thick](star){$*$};
\path
(star) edge[loop,thick] node {f} (star)
(star) edge[loop,thick] node {g} (star)
(star) edge[loop,thick] node {$f\square g$}(star)
(star) edge[loop,thick] node {$e_G$}(star)
;
\end{tikzpicture}
\end{center}

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@ -9,6 +9,7 @@
\usepackage{thmtools} \usepackage{thmtools}
\usepackage{mathrsfs} \usepackage{mathrsfs}
\usepackage{mathtools} \usepackage{mathtools}
\usepackage{tikz}
\biolinum \biolinum