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\section{Grundlagen}
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Oft betrachtet man in der Kategorientheorie Kategorien und sogenannte Funktoren, die quasi als Abbildungen zwischen Kategorien aufgefasst werden können.
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\subsection{Kategorien}
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Zunächst müssen wir definieren was eine Kategorie ist:
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\begin{definition}[Kategorie]
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Eine Kategorie $\mathscr{C}$ ist:
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\begin{itemize}
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\item eine Klasse von Objekten $\ob\mathscr{C}$
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\item für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ eine Menge $\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ eine Menge
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von Morphismen zwischen den Objekten
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\item für $A,B,C\in\ob\mathscr{C}$ eine Abbildung $\circ: \mor{\mathscr{C}}{B}{C}\times\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{A}{C}$ also
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Verkettung von Morphismen
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\item Assoziativität der Morphismen bezüglich $\circ$ % TODO:Definition
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\item Für jedes $A\in\ob\mathscr{C}$ ein $id_A\in\mor{\mathscr{C}}{A}{A}$ mit
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$id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$
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\end{itemize}
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\end{definition}
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Diese Definition ist bewusst recht allgemein gehalten um viele verschiedene Kategorien zu erlauben.
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Die Morphismen müssen dabei nicht unbedingt Abbildungen sein, sondern lediglich die oben genannte Definition erfüllen.
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Eine Klasse kann hier für alle Zwecke als Menge betrachtet werden.\\
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Die folgenden Beispiele erfüllen alle oben genannten Axiome und sind daher Kategorien:
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\begin{example}{\cat{Grp}}
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Ist die Kategorie der Gruppen\\
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\begin{itemize}
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\item $\ob\cat{Grp}=$ alle Gruppen
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\item $\mor{\cat{Grp}}{G}{H}=$ Gruppenhompmorphismen von $G$ nach $H$
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\item $\circ:$ Komposition von Gruppenhomomorphismen
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\end{itemize}
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Das ist wohldefiniert und \cat{Grp} ist eine Kategorie.
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\end{example}
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\begin{example}{Mehr Beispiele}
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\begin{itemize}
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\item \cat{$\mathbb{K}$-VR} die Kategorie der $\mathbb{K}$-Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen
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\item \cat{Ringe} Die Kategorie der Ringe und Ringhomomorphismen
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\item \cat{Körper} Die Kategorie der Körper und Körperhomomorphismen
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\item \cat{Set} Die Kategorie der Mengen und aller Abbildungen
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\item \cat{Ab} Abelsche Gruppen und Gruppenhomomorphismen
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\item \cat{Top} Topologische Räume und stetige Abbildungen
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\item \cat{MRäume} Metrische Räume
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\item \cat{Euklid} Euklidische Vektorräume und Subisometrien
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\item \cat{Set$^*$} Kategorie der punktierten Mengen ($(M,m)$, $M$ Menge, $m\in M$ $(M,m)\xmapsto{f}(N,n)$ Abbildung mit $f(m)=n$)
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\end{itemize}
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\end{example}
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\begin{example}{Eine Kategorie in der die Morphismen keine Abbildungen sind\\}
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Sei $(G,\square)$ eine Gruppe. $\cat{G}$ ist definiert als:
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\begin{itemize}
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\item $\ob G :=\{*\}$
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\item $\mor{\cat{G}}{*}{*}=G$
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\item für $f,g\in\mor{\cat{G}}{*}{*}$ definiere $f\circ g:=f\square g$
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\item $id_*=e_G$
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\end{itemize}
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Die Morphismen von \cat{G} sind hier also keine Abbildungen, sondern die Elemente der Gruppe.
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\end{example}
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Oft werden Kategorien mit Hilfe von Graphen dargestellt.
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Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher folgendermaßen dargestellt:
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node[circle,draw,thick](star){$*$};
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\path
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(star) edge[loop,thick] node {f} (star)
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(star) edge[loop,thick] node {g} (star)
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(star) edge[loop,thick] node {$f\square g$}(star)
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(star) edge[loop,thick] node {$e_G$}(star)
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{center} |