one more example

chapters/Grundlagen.tex

@@ -7,12 +7,12 @@ Zunächst müssen wir definieren was eine Kategorie ist:
     \begin{itemize}
         \item eine Klasse von Objekten $\ob\mathscr{C}$
         \item für $A,B\in\ob\mathscr{C}$ eine Menge $\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$ eine Menge
-        von Morphismen zwischen den Objekten
+              von Morphismen zwischen den Objekten
         \item für $A,B,C\in\ob\mathscr{C}$ eine Abbildung $\circ: \mor{\mathscr{C}}{B}{C}\times\mor{\mathscr{C}}{A}{B}\mapsto\mor{\mathscr{C}}{A}{C}$ also
-        Verkettung von Morphismen
+              Verkettung von Morphismen
         \item Assoziativität der Morphismen bezüglich $\circ$ % TODO:Definition
         \item Für jedes $A\in\ob\mathscr{C}$ ein $id_A\in\mor{\mathscr{C}}{A}{A}$ mit
-        $id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$
+              $id_A \circ f=f$ und $g\circ id_A=g$ für alle $f\in\mor{\mathscr{C}}{B}{A}, g\in\mor{\mathscr{C}}{A}{B}$
     \end{itemize}
 \end{definition}
 Diese Definition ist bewusst recht allgemein gehalten um viele verschiedene Kategorien zu erlauben.
@@ -41,3 +41,28 @@ Die folgenden Beispiele erfüllen alle oben genannten Axiome und sind daher Kate
         \item \cat{Set$^*$} Kategorie der punktierten Mengen ($(M,m)$, $M$ Menge, $m\in M$ $(M,m)\xmapsto{f}(N,n)$ Abbildung mit $f(m)=n$)
     \end{itemize}
 \end{example}
+\begin{example}{Eine Kategorie in der die Morphismen keine Abbildungen sind\\}
+    Sei $(G,\square)$ eine Gruppe. $\cat{G}$ ist definiert als:
+    \begin{itemize}
+        \item $\ob G :=\{*\}$
+        \item $\mor{\cat{G}}{*}{*}=G$
+        \item für $f,g\in\mor{\cat{G}}{*}{*}$ definiere $f\circ g:=f\square g$
+        \item $id_*=e_G$
+    \end{itemize}
+    Die Morphismen von \cat{G} sind hier also keine Abbildungen, sondern die Elemente der Gruppe.
+\end{example}
+Oft werden Kategorien mit Hilfe von Graphen dargestellt.
+Die Objekte werden zu Knoten und die Morphismen zu Kanten. \cat{G} würde daher folgendermaßen dargestellt:
+
+\begin{center}
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[circle,draw,thick](star){$*$};
+        \path
+        (star) edge[loop,thick] node {f} (star)
+        (star) edge[loop,thick] node {g} (star)
+        (star) edge[loop,thick] node {$f\square g$}(star)
+        (star) edge[loop,thick] node {$e_G$}(star)
+
+        ;
+    \end{tikzpicture}
+\end{center}

main.tex

@@ -9,6 +9,7 @@
 \usepackage{thmtools}
 \usepackage{mathrsfs}
 \usepackage{mathtools}
+\usepackage{tikz}
 
 \biolinum