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\section{Natürliche Transformationen}
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\begin{definition}{Natürliche Transformation\\}
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Seien
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\begin{tikzcd}
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\mathscr{C}
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\arrow[shift left, "\mathcal{F}"]{r}
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\arrow[shift right, "\mathcal{G}"']{r}
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&
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\mathscr{D}
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\end{tikzcd} Funktoren.\\
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Eine natürliche Transformation (nat. Trafo.) $\eta$ von $\mathcal{F}$ nach
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$\mathcal{G}$ ist eine Sammlung von Morphismen wie folgt:\\
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$\forall x\in\ob\mathscr{C}$ gilt $\mathcal{F}(x)\xrightarrow{\eta_x}\mathcal{G}(x)$\\
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$x\mapsto\eta_x\in\mor{\mathscr{D}}{\mathcal{F}(x)}{\mathcal{G}(x)}$. Folgendes Diagramm soll also kommutieren:\\
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\begin{figure}[h]
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}[sep=large]
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X \arrow[d, "f"'] \\ Y
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\end{tikzcd}
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\hspace{20mm}
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\begin{tikzcd}[sep=large]
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\mathcal{F}(x) \arrow[r, "\eta_x"] \arrow[d, "\mathcal{F}(f)"]{}& \mathcal{G}(x) \arrow[d, "\mathcal{G}(f)"]\\
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\mathcal{F}(y) \arrow[r, "\eta_y"] & \mathcal{G}(y)
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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\caption{Das kommutative Diagramm für eine natürliche Transformation $\eta$.}
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\end{figure}
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\end{definition} |